Классификация релятивистских полей
Релятивистская теория поля описывает физические поля в рамках специальной теории относительности, что требует инвариантности уравнений движения относительно преобразований Лоренца. Все поля классифицируются по поведению под действием этих преобразований и по их спину — фундаментальному квантовому числу, определяющему свойства поля при вращениях.
Скалярные поля — характеризуются отсутствием спина, инвариантны при преобразованиях Лоренца. Простейшее из них — реальное скалярное поле ϕ(x), описывается лагранжианом
$$ \mathcal{L} = \frac{1}{2} \partial_\mu \phi \partial^\mu \phi - \frac{1}{2} m^2 \phi^2. $$
Оно удовлетворяет уравнению Клейна–Гордона:
(□+m2)ϕ(x) = 0,
где □ = ∂μ∂μ — оператор Д’Аламбера.
Спинорные поля — поля с полуцелым спином, описывающие фермионы. Основной пример — дираковское поле ψ(x), удовлетворяющее уравнению Дирака:
(iγμ∂μ − m)ψ(x) = 0.
Здесь γ-матрицы реализуют представление алгебры Клиффорда:
{γμ, γν} = 2ημν.
Векторные поля — поля с целым спином (s = 1), трансформируются как вектор под преобразованиями Лоренца. Пример — электромагнитное поле Aμ(x), описываемое лагранжианом Максвелла:
$$ \mathcal{L} = -\frac{1}{4} F_{\mu\nu} F^{\mu\nu}, \quad F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu. $$
При введении массы (массивный векторный бозон) лагранжиан дополняется членом $\frac{1}{2} m^2 A_\mu A^\mu$, как в теории Прока.
Тензорные поля — описывают частицы с большим спином (например, гравитационное поле — тензор ранга 2). Их описание связано с более сложной структурой симметрий и обычно требует калибровочной инвариантности или вспомогательных условий.
Принцип Лоренц-инвариантности
Лоренц-инвариантность — центральное требование, накладываемое на лагранжианы и уравнения движения всех релятивистских полей. Любая физическая величина и любое уравнение должно сохранять свой вид при преобразованиях:
xμ → x′μ = Λ νμxν,
где Λ — матрица преобразования Лоренца. Следствием этого требования является наличие сохраняемых токов, таких как ток энергии-импульса Tμν, возникающий из теоремы Нётер при трансляционной симметрии пространства-времени:
∂μTμν = 0.
Квантование релятивистских полей
Полевая теория приобретает завершённый физический смысл при переходе к её квантованию, когда классические поля становятся операторами, действующими в гильбертовом пространстве состояний.
Квантование скалярного поля производится путём замены классических полей на операторнозначные функции и введения коммутационных соотношений:
[ϕ(x⃗, t), π(y⃗, t)] = iδ3(x⃗ − y⃗),
где π(x) = ∂tϕ(x) — сопряжённый импульс.
Решение уравнения Клейна–Гордона в виде разложения по модам:
$$ \phi(x) = \int \frac{d^3 p}{(2\pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2E_{\vec{p}}}} \left( a_{\vec{p}} e^{-ipx} + a^\dagger_{\vec{p}} e^{ipx} \right), $$
позволяет трактовать ap⃗ и ap⃗† как операторы уничтожения и создания частиц с импульсом p⃗.
Аналогично квантуется и спинорное поле, однако с антимкоммутационными соотношениями:
{ψα(x⃗, t), ψβ†(y⃗, t)} = δαβδ3(x⃗ − y⃗),
что отражает фермионную природу частиц (принцип Паули).
Лагранжев формализм и симметрии
Все релятивистские теории строятся в рамках лагранжевой формализации. Это обеспечивает естественное включение симметрий и применение теоремы Нётер для вывода сохраняющихся величин.
Пример: для скалярного комплексного поля с глобальной U(1)-симметрией:
ϕ → eiαϕ,
лагранжиан:
ℒ = ∂μϕ*∂μϕ − m2ϕ*ϕ
инвариантен. По теореме Нётер существует сохраняющийся ток:
jμ = i(ϕ*∂μϕ − ϕ∂μϕ*), ∂μjμ = 0.
Калибровочная инвариантность
Векторные поля, такие как электромагнитное, требуют не только Лоренц-инвариантности, но и калибровочной:
Aμ → Aμ + ∂μΛ(x),
что отражает физическую неизмеримость абсолютного значения потенциала. Подобные симметрии ведут к дополнительным ограничениям — необходимости фиксации калибровки (например, калибровка Лоренца ∂μAμ = 0) и введения фантомных полей в квантовой теории (механизм Фаддеева–Попова).
Релятивистские уравнения движения и представления группы Лоренца
Каждому полю соответствует представление группы Лоренца. Эти представления классифицируются по значениям массы и спина — касательные к пространству Минковского.
Для безмассовых частиц (например, фотон) важно также учитывать геликс — проекцию спина на направление движения. Спиновая структура таких полей описывается через представления малой подгруппы Литтлвуда для нулевой массы.
Сами поля преобразуются по законам:
Взаимодействие релятивистских полей
В теории взаимодействующих полей к лагранжиану свободного поля добавляются члены взаимодействия. Пример — лагранжиан Юкавы:
ℒint = −gϕψ̄ψ,
описывающий скалярное поле, взаимодействующее с фермионным током.
Или взаимодействие в электродинамике:
ℒint = −eψ̄γμAμψ,
где e — заряд, ψ̄ = ψ†γ0.
Каждое такое взаимодействие подчиняется определённым принципам:
Краткий обзор уравнений релятивистской теории поля
| Тип поля | Уравнение движения | Спин | Особенности |
|---|---|---|---|
| Скалярное | (□+m2)ϕ = 0 | 0 | Уравнение Клейна–Гордона |
| Спинорное | (iγμ∂μ − m)ψ = 0 | 1/2 | Уравнение Дирака, требует антиквантования |
| Векторное | ∂μFμν = jν | 1 | Электромагнитное поле, калибровочная симметрия |
| Гравитационное | Gμν = 8πGTμν | 2 | Общая теория относительности |
Принцип причинности и спектр массы
Релятивистская теория поля строго подчинена причинности: операторы поля в пространственно-разнесённых точках должны коммутировать (или антикоммутировать) при пространственно-подобном разделении:
[ϕ(x), ϕ(y)] = 0 если (x − y)2 < 0.
Кроме того, все поля удовлетворяют условию положительности спектра энергии: энергия частиц не может быть отрицательной, и вакуум остаётся минимально возможным состоянием.
Роль релятивистских полей в современной физике
Релятивистские квантовые поля лежат в основе Стандартной модели физики элементарных частиц, описывая все известные элементарные взаимодействия — электромагнитное, слабое, сильное, а также являются отправной точкой для теорий гравитации в квантовом контексте. Они объединяют принципы квантовой механики, специальной теории относительности и калибровочных симметрий в единую теоретическую структуру.