Построение релятивистских волновых уравнений основано на требовании лоренц-инвариантности. В классической квантовой механике уравнение Шрёдингера не инвариантно относительно преобразований Лоренца, что делает его неприменимым к описанию частиц, движущихся со скоростью, сравнимой со скоростью света. Заменив ньютоновскую динамику на релятивистскую, необходимо также модифицировать уравнение движения, добиваясь согласованности с релятивистской энергией:
E2 = p2c2 + m2c4.
Заменяя энергию и импульс на операторы:
$$ E \rightarrow i\hbar \frac{\partial}{\partial t}, \quad \vec{p} \rightarrow -i\hbar \nabla, $$
получаем релятивистское уравнение для свободной частицы, известное как уравнение Клейна–Гордона:
$$ \left( \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2} - \nabla^2 + \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \right) \psi = 0. $$
Это уравнение второго порядка по времени и пространству. Оно ковариантно относительно преобразований Лоренца, удовлетворяет принципу причинности и позволяет описывать скалярные (спин-0) частицы.
Однако у него есть существенные особенности:
$$ \rho = \frac{i\hbar}{2mc^2} \left( \psi^* \frac{\partial \psi}{\partial t} - \psi \frac{\partial \psi^*}{\partial t} \right), $$
может принимать отрицательные значения.
Плоские волны вида
ψ(r⃗, t) = e−i(Et − p⃗ ⋅ r⃗)/ℏ
удовлетворяют уравнению Клейна–Гордона при условии E2 = p2c2 + m2c4. Спектр решений симметричен относительно нуля: присутствуют как положительные, так и отрицательные энергии. Это приводит к необходимости введения вторичного квантования, в рамках которого отрицательные энергии интерпретируются как состояния с положительной энергией, но с противоположным зарядом (античастицы).
Для описания фермионов (частиц со спином 1/2), необходимо построить уравнение, которое одновременно:
Такие требования привели Дирака к предложению уравнения:
(iℏγμ∂μ − mc)ψ = 0,
где γμ — гамма-матрицы, удовлетворяющие антикоммутационным соотношениям:
{γμ, γν} = 2ημνI.
В 4-мерном пространстве минимальная размерность представления требует, чтобы ψ была 4-компонентным объектом — биспинором.
В каноническом представлении (Дираковском базисе):
$$ \gamma^0 = \begin{pmatrix} I & 0 \\ 0 & -I \end{pmatrix}, \quad \gamma^i = \begin{pmatrix} 0 & \sigma^i \\ -\sigma^i & 0 \end{pmatrix}, $$
где σi — матрицы Паули.
Общее решение представляется в виде линейной комбинации 4-х линейно независимых спиноров:
$$ \psi(x) = \sum_{s=1}^2 \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} \left( a_s(\vec{p}) u_s(\vec{p}) e^{-ipx/\hbar} + b^\dagger_s(\vec{p}) v_s(\vec{p}) e^{ipx/\hbar} \right), $$
где us и vs — спиноры Дирака, описывающие частицы и античастицы, соответственно.
В отличие от уравнения Клейна–Гордона, уравнение Дирака позволяет построить положительно определённую плотность вероятности:
ρ = ψ†ψ, j⃗ = ψ†α⃗ψ,
где α⃗ = γ0γ⃗. Сохранение вероятности обеспечивается непрерывным уравнением:
$$ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot \vec{j} = 0. $$
Для описания векторных (спин-1) полей применяют обобщение уравнения Клейна–Гордона на случай векторного поля Aμ. Уравнение Прока:
$$ \partial_\nu F^{\mu\nu} + \frac{m^2c^2}{\hbar^2} A^\mu = 0, $$
где Fμν = ∂μAν − ∂νAμ. При m = 0 оно переходит в уравнения Максвелла. Это уравнение описывает massive vector bosons, такие как W± и Z0-бозоны.
Релятивистские волновые уравнения являются однопетельными уравнениями движения, применимыми в нерелятивистском приближении или как переходный этап к полевой теории. Однако полное описание релятивистских взаимодействий невозможно без использования квантовой теории поля, в которой поля — это операторы, а частицы интерпретируются как возбуждения этих полей.
| Уравнение | Частицы | Спин | Линейность | Вероятностная интерпретация | Отрицательные энергии |
|---|---|---|---|---|---|
| Клейна–Гордона | Скалярные | 0 | Нет | Нет | Да |
| Дирака | Фермионы | 1/2 | Да | Да | Да |
| Прока | Векторные | 1 | Нет | — | — |
Релятивистские волновые уравнения служат фундаментом для построения квантовой электродинамики, теории слабых и сильных взаимодействий, моделей стандартной модели, описания элементарных частиц и их взаимодействий. Они сохраняют свою актуальность как в прикладных задачах физики высоких энергий, так и в изучении фундаментальных симметрий природы.