Ренормализационная группа

Понятие масштабной инвариантности и ренормализации

В квантовой теории поля и статистической физике центральным понятием является поведение системы при изменении масштаба. Если в задаче существует характерная длина ξ, связанная с корреляциями, то поведение физических величин при увеличении или уменьшении масштаба (например, длины, энергии или температуры) позволяет понять фундаментальные свойства теории. Вблизи критической точки, где ξ → ∞, поведение системы описывается универсальными законами, не зависящими от микроскопических деталей, и здесь вступает в игру ренормализационная группа (РГ).

Масштабные преобразования, в которых координаты x заменяются на x′ = x/b (с b > 1), используются для анализа того, как изменяются параметры теории при переходе к новым масштабам. Эти преобразования естественным образом приводят к введению понятий бегущих параметров, фиктивных масштабов, и инвариантных траекторий, лежащих в основе РГ-анализа.

Ренормализация и потоки параметров

В квантовой теории поля полевая теория, определённая при некотором ультрафиолетовом (УФ) срезе Λ, оказывается чувствительной к модификациям в высокоэнергетической области. Чтобы сделать предсказания на низких масштабах μ ≪ Λ, необходимо переформулировать теорию так, чтобы все наблюдаемые значения не зависели от конкретного значения Λ. Это достигается ренормализацией, которая влечёт за собой зависимость параметров от масштаба: g_i = g_i(μ), где g_i — константы взаимодействия.

Эволюция параметров при изменении масштаба описывается уравнениями РГ в виде:

$$ \mu \frac{d g_i(\mu)}{d\mu} = \beta_i(g_1, g_2, \dots) $$

где β_i — бета-функции, характеризующие поведение теории при изменении масштаба. Потоки в пространстве параметров, порождённые этими уравнениями, указывают, как изменяются физические теории при «масштабном течении».

Фиксированные точки и критическое поведение

Особую роль играют фиксированные точки РГ — значения параметров g_i^*, при которых все бета-функции обращаются в нуль:

β_i(g^*) = 0

Фиксированные точки классифицируются по их устойчивости: если при небольших возмущениях поток возвращается в фиксированную точку, то она притягивающая (инфракрасная); если отталкивает — ультрафиолетовая.

В теории критических явлений фиксированная точка соответствует критическому состоянию системы, где наблюдается масштабная инвариантность. В её окрестности наблюдаемые величины подчиняются степенным законам:

ξ ∼ |t|^−ν, C ∼ |t|^−α, M ∼ |t|^β, χ ∼ |t|^−γ

где t = (T − T_c)/T_c, а критические индексы ν, α, β, γ определяются линейным анализом РГ-потока вблизи фиксированной точки.

Классы универсальности

Системы, имеющие одинаковые критические индексы, образуют класс универсальности. На него влияют:

размерность пространства d;
симметрия поля (например, Z₂, O(N));
число компонент поля;
дальнодействующие взаимодействия или беспорядок.

РГ объясняет, почему в критической точке исчезают микроскопические детали: все неренормализуемые (иррелевантные) возмущения подавляются масштабными преобразованиями.

Пространство теорий и направления в РГ

Поведение теории при течении РГ может быть классифицировано по линейной стабильности. Введём отклонение δg_i = g_i − g_i^* и разложим β-функции вблизи фиксированной точки:

$$ \mu \frac{d (\delta g_i)}{d\mu} = \sum_j M_{ij} \delta g_j, \quad M_{ij} = \left.\frac{\partial \beta_i}{\partial g_j}\right|_{g = g^*} $$

Собственные значения λ_i матрицы M определяют направление течения: при λ_i > 0 направление релевантно (возмущение усиливается при уменьшении масштаба), при λ_i < 0 — иррелевантно. Направления с λ_i = 0 — маргинальные и требуют нелинейного анализа.

Число релевантных направлений определяет число параметров, которые необходимо точно «настроить», чтобы достичь критической поверхности. Это объясняет малое число физических параметров, управляющих критическим поведением.

РГ в квантовой теории поля

РГ-метод был развит Кэлланом, Саймоном, Поляковым и другими для квантовой теории поля. Один из центральных примеров — квантовая электродинамика (КЭД), где заряд зависит от масштаба:

$$ \mu \frac{d e(\mu)}{d\mu} = \frac{e^3}{12\pi^2} + \dots $$

Это приводит к эффекту экранирования заряда и к росту эффективного заряда с увеличением энергии, так называемой логарифмической бегущей константе.

В теории Янга-Миллса с SU(N)-симметрией бета-функция имеет отрицательный знак:

β(g) = −β₀g³ + …, β₀ > 0

что ведёт к асимптотической свободе — ключевому свойству КХД. Это означает, что взаимодействие становится слабым на малых расстояниях, позволяя применять пертурбативные методы в высокоэнергетических режимах.

Формализм функциональной РГ

В современной теории часто применяется функциональный подход — метод Вильсона и Полча. Рассматривается эффективное действие Γ_k[ϕ], зависящее от масштаба k, при этом его эволюция описывается уравнением Ветцеля-Полча:

$$ k \frac{d \Gamma_k}{dk} = \frac{1}{2} \mathrm{Tr} \left[ \left( \Gamma_k^{(2)} + R_k \right)^{-1} k \frac{d R_k}{dk} \right] $$

где R_k — регулятор, а Γ_k⁽²⁾ — вторая функциональная производная по полю. Этот подход универсален и применим как в классической, так и в квантовой теории, а также в неравновесной статистике.

Примеры и применение

Изинговская модель — классический пример для анализа РГ. В размерности d = 2 она точно решается, а в d = 4 − ϵ — анализируется через ϵ-разложение. Полученные критические индексы совпадают с экспериментальными.
Случайные среды и разупорядоченные системы требуют усреднения по беспорядку, что приводит к новым фиксированным точкам.
Квантовые фазовые переходы требуют обобщения РГ на пространства с пространственно-временной размерностью, например d + z, где z — динамическая критическая экспонента.
Конформная теория поля (CFT) — теория, находящаяся в фиксированной точке РГ и обладающая расширенной симметрией, включая масштабные и конформные преобразования. В двумерии такие теории классифицируются, что имеет глубокие приложения в теории струн, критических явлениях и интегрируемых системах.

Инварианты и наблюдаемые

Инвариантные комбинации бегущих параметров формируют наблюдаемые величины. Например, в КЭД эффективный заряд e_eff(q) зависит от импульса q, и его измерение связано с определением масштаба. Теории, у которых при определённом масштабе параметры перестают меняться (то есть приходят в фиксированную точку), называются масштабно-инвариантными, а если дополнительно реализуется конформная симметрия — конформными.

РГ-анализ обеспечивает связь между микроскопическим описанием и макроскопическими наблюдаемыми и лежит в основе понимания критических явлений, классификации теорий, универсальности, а также многих аспектов квантовой теории поля и космологии.