Решение Шварцшильда

Решение Шварцшильда в общей теории относительности

Решение Шварцшильда является точным решением уравнений Эйнштейна в вакууме при наличии сферической симметрии и статичности. Основная предпосылка: рассматривается гравитационное поле, порождённое не вращающимся массивным телом, вне его поверхности (вакуум). Уравнения Эйнштейна в вакууме принимают вид:

R_μν = 0

Предполагается сферическая симметрия, что обязывает метрику иметь следующий общий вид в сферических координатах (t, r, θ, ϕ):

ds² = −e^2Φ(r)c²dt² + e^2Λ(r)dr² + r²dθ² + r²sin²θ dϕ²

где функции Φ(r) и Λ(r) подлежат определению из уравнений Эйнштейна. Для вакуумного случая (снаружи массы) решение уравнений приводит к следующему результату:

$$ e^{2\Phi(r)} = 1 - \frac{2GM}{c^2 r}, \quad e^{2\Lambda(r)} = \left(1 - \frac{2GM}{c^2 r} \right)^{-1} $$

Таким образом, метрика приобретает форму:

$$ ds^2 = -\left(1 - \frac{2GM}{c^2 r} \right)c^2 dt^2 + \left(1 - \frac{2GM}{c^2 r} \right)^{-1} dr^2 + r^2 d\theta^2 + r^2 \sin^2 \theta \, d\phi^2 $$

Это и есть метрика Шварцшильда.

Радиус Шварцшильда и горизонты

Величина:

$$ r_s = \frac{2GM}{c^2} $$

называется радиусом Шварцшильда. Он представляет собой критическое значение радиуса, при котором коэффициенты метрики обращаются в нуль или бесконечность. Поверхность r = r_s называется горизонтом событий, за которым ни один сигнал не может быть передан наружу.

При r < r_s компонента g_tt становится положительной, а g_rr — отрицательной, что означает перестановку знаков временной и пространственной компонент, что радикально меняет структуру пространства-времени. Это отражает то, что внутренняя область ведёт себя как времеподобное направление к сингулярности.

Поведение геодезических

Движение частиц и света описывается геодезическими линиями метрики Шварцшильда. Для безмассовых частиц (фотонов) геодезические уравнения следуют из лагранжиана:

$$ \mathcal{L} = \frac{1}{2} g_{\mu\nu} \frac{dx^\mu}{d\lambda} \frac{dx^\nu}{d\lambda} = 0 $$

Для массивных частиц $\mathcal{L} = -\frac{1}{2}c^2$. Используя симметрии метрики (временная и осевая), вводятся два интеграла движения:

Энергия на единицу массы:

$$ E = \left(1 - \frac{r_s}{r}\right)c^2 \frac{dt}{d\tau} $$
Орбитальный момент на единицу массы:

$$ L = r^2 \frac{d\phi}{d\tau} $$

Эффективный потенциал движения частиц имеет вид:

$$ V_{\text{eff}}(r) = \left(1 - \frac{r_s}{r} \right) \left(c^2 + \frac{L^2}{r^2} \right) $$

Изучение формы V_eff(r) позволяет классифицировать возможные траектории: замкнутые орбиты, спиральное падение на чёрную дыру, гиперболические пролёты.

Особо интересны круговые орбиты фотонов при r = 3r_s/2 — так называемая фотонная сфера, которая неустойчива.

Временные эффекты и гравитационное замедление

Поскольку $g_{tt}(r) = -\left(1 - \frac{r_s}{r}\right)$, то частота светового сигнала, испущенного с радиуса r и принятого на бесконечности, испытывает гравитационное красное смещение:

$$ \frac{\nu_\infty}{\nu_r} = \sqrt{1 - \frac{r_s}{r}} $$

Это означает, что сигнал от объекта, приближающегося к r_s, будет казаться всё более замедленным и красным, вплоть до полного “замирания” на горизонте — оптическое замораживание.

Сингулярность

При r → 0 компоненты метрики стремятся к бесконечности. Инвариантная кривизна, такая как скаляр Крейча (Kretschmann scalar),

$$ K = R_{\mu\nu\rho\sigma} R^{\mu\nu\rho\sigma} = \frac{48 G^2 M^2}{c^4 r^6} $$

расходится, что свидетельствует о физической (неустранимой) сингулярности в r = 0. В отличие от координатной особенности на r = r_s, она не устраняется никаким выбором координат и указывает на реальный физический предел применимости классической теории.

Координатные преобразования

Горизонт событий при r = r_s — это координатная сингулярность, которую можно устранить, перейдя к другим координатам, например:

Координаты Эддингтона-Финкельштейна, позволяющие аналитически продолжить траектории сквозь горизонт.
Координаты Крускала-Секереша, которые полностью покрывают пространство-время и делают структуру горизонт/сингулярность наглядной.

Метрика в координатах Крускала:

$$ ds^2 = \frac{32 G^3 M^3}{r} e^{-r / (2GM)} (-dT^2 + dX^2) + r^2 d\Omega^2 $$

где T, X связаны с t, r экспоненциальными преобразованиями.

Внутренняя структура и физический смысл

Решение Шварцшильда описывает пространство-время как снаружи компактного объекта, так и в случае его коллапса в чёрную дыру. При образовании горизонта и захвате материи внутренняя структура становится каузально отделённой от внешнего мира. Пространство-время оказывается разделено на:

Область вне горизонта (наблюдаемая).
Внутреннюю область, где радиальная координата становится времеподобной.
Центральную сингулярность, к которой ведут все мировые линии.

Таким образом, решение Шварцшильда играет ключевую роль в понимании структуры чёрных дыр, гравитационного коллапса и фундаментальных ограничений в рамках общей теории относительности.