Понятие многообразия и метрической структуры
Рассмотрим гладкое дифференцируемое многообразие M размерности n, которое локально напоминает ℝn, но глобально может обладать произвольной топологией и геометрией. Каждая точка p ∈ M имеет окрестность, допускающую координатное отображение в ℝn, и переходы между координатными картами являются гладкими отображениями.
Для физики важно снабдить такое многообразие дополнительной структурой — метрическим тензором gμν(x), симметричным положительно определённым или псевдориимановым (в случае Лоренцевой сигнатуры), который определяет скалярное произведение в касательном пространстве TpM:
ds2 = gμν(x)dxμdxν.
Значения gμν зависят от координат xμ, а сам тензор трансформируется как ковариантный тензор второго ранга при замене координат.
Метрический тензор позволяет определить длины кривых, углы между векторами, объёмы и другие геометрические величины. Его наличие превращает гладкое многообразие в риманово (или псевдориманово, в зависимости от сигнатуры gμν).
Ковариантная производная и связность
Обычные частные производные не сохраняют тензорный характер объектов при переходах между координатными системами. Для дифференцирования тензоров на многообразии необходимо ввести понятие ковариантной производной:
∇μVν = ∂μVν + ΓμλνVλ,
где Γμλν — символы Кристоффеля, выражающиеся через метрический тензор:
$$ \Gamma^\rho_{\mu\nu} = \frac{1}{2} g^{\rho\sigma} \left( \partial_\mu g_{\nu\sigma} + \partial_\nu g_{\mu\sigma} - \partial_\sigma g_{\mu\nu} \right). $$
Это определение соответствует связности Леви-Чивиты, то есть симметричной и совместимой с метрикой: ∇λgμν = 0.
Ковариантная производная расширяется на произвольные тензоры с помощью линейности и правила Лейбница, учитывая соответствующие символы Кристоффеля для каждого индекса.
Параллельный перенос и геодезические линии
Параллельный перенос вектора вдоль кривой xμ(λ) осуществляется по правилу:
$$ \frac{d V^\mu}{d \lambda} + \Gamma^\mu_{\nu\rho} \frac{dx^\nu}{d\lambda} V^\rho = 0. $$
Эта операция сохраняет длину вектора и угол между векторами, если связность совместима с метрикой.
Особую роль играют геодезические линии — кривые, вдоль которых собственный вектор скорости переносится параллельно:
$$ \frac{d^2 x^\mu}{d\lambda^2} + \Gamma^\mu_{\nu\rho} \frac{dx^\nu}{d\lambda} \frac{dx^\rho}{d\lambda} = 0. $$
Для римановой геометрии геодезические являются кривыми, минимизирующими длину между двумя точками, а в случае Лоренцевой метрики (в общей теории относительности) — это мировые линии свободно падающих частиц.
Кривизна и тензор Римана
Мера искривления многообразия задаётся тензором Римана, определяемым через коммутатор ковариантных производных:
[∇μ, ∇ν]Vρ = R σμνρVσ.
Тензор кривизны выражается через производные символов Кристоффеля:
R σμνρ = ∂μΓνσρ − ∂νΓμσρ + ΓμλρΓνσλ − ΓνλρΓμσλ.
Свертывание тензора Римана даёт тензор Риччи:
Rμν = R μλνλ,
а далее — скаляр кривизны:
R = gμνRμν.
Полный тензор Римана содержит всю информацию о локальной геометрии. В частности, тензор Вейля (Weyl) отвечает за конформную часть кривизны, не определяемую метрикой и её производными первого порядка.
Инварианты римановой геометрии
На многообразии с метрикой можно определить множество инвариантов: длины, углы, объёмы, кривизну. Объём элемента пространства выражается через детерминант метрики:
$$ dV = \sqrt{|\det g_{\mu\nu}|} \, d^n x. $$
Интегралы от скалярных инвариантов (например, R, RμνRμν, RμνρσRμνρσ) играют важную роль в вариационных принципах, теории гравитации, квантовой теории поля на кривом фоне.
Теория относительности и риманова геометрия
В общей теории относительности пространство-время представляется как четырёхмерное псевдориманово многообразие с сигнатурой (−, +, +, +). Уравнения Эйнштейна связывают тензор Риччи и скаляр кривизны с тензором энергии-импульса:
$$ R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} g_{\mu\nu} R + \Lambda g_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu}. $$
Таким образом, кривизна пространства-времени определяется распределением материи и энергии, и обратно, геодезические в этом пространстве описывают движение тел.
В линейном приближении метрики к плоскому пространству можно описать гравитационные волны, распространяющиеся со скоростью света. Их описание требует разложения метрики:
gμν = ημν + hμν, |hμν| ≪ 1,
и анализа соответствующих уравнений в калибровке слабого поля.
Риманова геометрия в теории поля и квантовой физике
На многообразиях с кривизной можно рассматривать поля различных спинов. Для скалярного поля с лагранжианом
$$ \mathcal{L} = \frac{1}{2} g^{\mu\nu} \partial_\mu \phi \partial_\nu \phi - \frac{1}{2} m^2 \phi^2 - \frac{1}{2} \xi R \phi^2 $$
возможна минимальная (ξ = 0) и конформная ($\xi = \frac{n-2}{4(n-1)}$) связи с кривизной. Эта конструкция возникает при квантовании в кривом пространстве, где изучаются эффекты типа эффекта Хокинга, касающиеся излучения чёрных дыр.
Для фермионных полей необходимо введение спиновой структуры и двиадов (тетраэдов) eμa, позволяющих определить спинорную ковариантную производную. Связность спинорного поля включает компоненты спин-соединения:
$$ \nabla_\mu \psi = \partial_\mu \psi + \frac{1}{4} \omega_{\mu}^{ab} \gamma_{[a} \gamma_{b]} \psi. $$
Эти конструкции критически важны в супергравитации и теориях струн.
Топология и глобальные свойства
Риманова геометрия может описывать не только локальные, но и глобальные свойства. Глобальные теоремы типа теоремы Гаусса-Бонне связывают интеграл от кривизны с характеристиками топологии (род, эйлерова характеристика):
$$ \chi(M) = \frac{1}{32\pi^2} \int_M \left( R_{\mu\nu\rho\sigma} R^{\mu\nu\rho\sigma} - 4 R_{\mu\nu} R^{\mu\nu} + R^2 \right) \sqrt{-g} \, d^4x. $$
В теоретической физике такие выражения возникают в аномалиях квантовых теорий поля, в топологических инвариантах в теории Янга-Миллса и в подходах к квантовой гравитации.
Вариационные принципы и действия
Основой построения физических теорий на римановых многообразиях является действие. В общей теории относительности используется действие Гильберта-Эйнштейна:
$$ S = \frac{c^3}{16\pi G} \int R \sqrt{-g} \, d^4x, $$
вариация которого по gμν приводит к уравнениям Эйнштейна. Добавление к действию дополнительных инвариантов, таких как R2, RμνRμν, может приводить к модифицированным теориям гравитации (f(R)-гравитация, теория Ланжевена, гравитация с квадратами кривизны и др.).
Таким образом, риманова геометрия даёт универсальный язык для описания пространства, времени и поля в контексте как классической, так и квантовой физики.