Специальные функции математической физики

Сферические функции, функции Бесселя и полиномы Лежандра в математической физике

Во многих задачах теоретической физики возникает необходимость решения дифференциальных уравнений второго порядка, которые при определённых условиях приводят к известным специальным функциям. Эти функции не только обладают хорошо изученными аналитическими свойствами, но и составляют базис ортогональных функций, используемых для разложения решений в ряды. Наиболее часто встречающиеся специальные функции — это функции Бесселя, сферические функции, полиномы Лежандра, функции Лагерра, функции Эрмита, гипергеометрические функции, каждая из которых связана с определённой симметрией физической задачи.

Функции Бесселя

Уравнение Бесселя

Функции Бесселя возникают при решении волнового уравнения или уравнения Лапласа в цилиндрических координатах. Стандартное уравнение Бесселя имеет вид:

$$ x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} + x \frac{dy}{dx} + (x^2 - \nu^2) y = 0 $$

где ν — порядок функции Бесселя, который может быть целым или вещественным числом.

Функции первого и второго рода

Общее решение уравнения Бесселя:

y(x) = AJ_ν(x) + BY_ν(x)

где J_ν(x) — функция Бесселя первого рода, Y_ν(x) — функция Бесселя второго рода (или функция Неймана), A, B — произвольные постоянные.

Функция J_ν(x) является регулярной в начале координат, тогда как Y_ν(x) обладает логарифмической особенностью при x → 0. В задачах с граничными условиями, задающими поведение решения в начале координат, чаще всего используется J_ν(x).

Свойства

Ортогональность: функции J_ν ортогональны на интервале [0, a] с весом x, при условии, что аргумент соответствует нулям функции.
Формулы разложения: функции Бесселя можно разложить в бесконечные ряды, аналогично тригонометрическим функциям.
Применение: задачи колебаний мембраны, дифракция, задачи электродинамики и акустики в цилиндрических системах координат.

Полиномы Лежандра

Уравнение Лежандра

При решении уравнения Лапласа в сферических координатах и использовании метода разделения переменных возникает дифференциальное уравнение:

$$ \frac{d}{dx} \left[(1 - x^2) \frac{dy}{dx}\right] + l(l+1) y = 0 $$

где x = cos θ, l ∈ ℕ₀ — целое неотрицательное число.

Решениями этого уравнения при целых l являются полиномы Лежандра P_l(x).

Основные свойства

Ортогональность:

$$ \int_{-1}^{1} P_l(x) P_m(x)\, dx = \frac{2}{2l+1} \delta_{lm} $$

Нормировка: P_l(1) = 1
Рекуррентные соотношения:

(l + 1)P_l + 1(x) = (2l + 1)xP_l(x) − lP_l − 1(x)

Разложение функций: функция, заданная на отрезке [−1, 1], может быть разложена в ряд по полиномам Лежандра.

Связь с гармониками

Функции P_l(cos θ) входят в определение сферических гармоник, имеющих вид:

Y_lm(θ, ϕ) = N_lmP_l^m(cos θ)e^imϕ

где P_l^m — присоединённые полиномы Лежандра.

Сферические гармоники

Сферические гармоники являются собственными функциями оператора лапласиана на сфере. Они удовлетворяют уравнению:

∇²Y_lm + l(l + 1)Y_lm = 0

и образуют полную ортонормированную систему на сфере:

∫_S²Y_lm^*(θ, ϕ)Y_l′m′(θ, ϕ)dΩ = δ_ll′δ_mm′

Эти функции играют фундаментальную роль в квантовой механике (разложение волновых функций), электродинамике (мультипольное разложение), теории поля и гравитации.

Функции Лагерра

Уравнение Лагерра

Функции Лагерра возникают при решении уравнений в полярных координатах, а также в уравнении Шрёдингера для атома водорода. Стандартное дифференциальное уравнение:

$$ x \frac{d^2 y}{dx^2} + (1 - x) \frac{dy}{dx} + n y = 0 $$

где n ∈ ℕ₀, и решения L_n(x) называются полиномами Лагерра.

Свойства

Ортогональность:

∫₀^∞e^−xL_n(x)L_m(x)dx = δ_nm

Применение: спектр атома водорода, квантование уровней в центральном поле, теории возбуждённых состояний.

Функции Эрмита

Функции Эрмита H_n(x) возникают при решении уравнения гармонического осциллятора в квантовой механике:

$$ \frac{d^2 y}{dx^2} - 2x \frac{dy}{dx} + 2n y = 0 $$

Они ортогональны на всей вещественной оси с весом e^−x²:

$$ \int_{-\infty}^{\infty} H_n(x) H_m(x) e^{-x^2} dx = 2^n n! \sqrt{\pi} \delta_{nm} $$

Эти функции являются собственными функциями гамильтониана одномерного квантового гармонического осциллятора и составляют ортонормированный базис в пространстве квадрат-интегрируемых функций.

Гипергеометрические функции

Основное уравнение

Многие специальные функции могут быть сведены к гипергеометрическому уравнению:

$$ x(1 - x)\frac{d^2 y}{dx^2} + [c - (a + b + 1)x] \frac{dy}{dx} - ab y = 0 $$

Решением является гипергеометрическая функция ₂F₁(a, b; c; x), которая при определённых значениях параметров сводится к:

P_l(x), L_n(x), J_ν(x), H_n(x) и др.

Гипергеометрическая функция охватывает широкий класс решений и является универсальной формой записи специальных функций.

Ассоциированные функции и сферические решения

Многие функции (например, P_l^m(x)) появляются как решения ассоциированных дифференциальных уравнений, возникающих при разделении переменных в сферических координатах. Эти функции удовлетворяют уравнениям, содержащим производные по углам и зависящим от параметра m, связанного с азимутальной симметрией.

Роль специальных функций в физике

Специальные функции играют не вспомогательную, а фундаментальную роль в решении задач математической физики. Они:

Обеспечивают разделение переменных;
Представляют собой собственные функции самосопряжённых операторов;
Формируют ортонормированные базисы в функциональных пространствах;
Используются для разложения полей, потенциалов и волновых функций.

Знание свойств этих функций необходимо для углублённого понимания как классических, так и квантовых теорий, особенно в областях симметрий, спектрального анализа и граничных задач.