Спин-орбитальное взаимодействие в атомной физике
Спин-орбитальное взаимодействие возникает как следствие релятивистского эффекта при рассмотрении движения электрона в электрическом поле ядра. В системе отсчёта, связанной с электроном, ядро движется, создавая магнитное поле. Это поле взаимодействует с магнитным моментом электрона, обусловленным его собственным спином. Таким образом, проявляется энергия взаимодействия между спином электрона и его орбитальным движением — спин-орбитальное взаимодействие.
Согласно уравнениям Максвелла, движение положительного заряда (ядра) относительно электрона создает магнитное поле:
$$ \vec{B} = -\frac{1}{4\pi \varepsilon_0 c^2} \cdot \frac{Ze}{r^3} \cdot (\vec{v} \times \vec{r}), $$
где v⃗ — скорость электрона, r⃗ — радиус-вектор от ядра к электрону, Ze — заряд ядра, c — скорость света.
Магнитный момент электрона, связанный со спином, выражается как:
$$ \vec{\mu}_s = -g_s \mu_B \frac{\vec{S}}{\hbar}, $$
где gs ≈ 2 — гиромагнитное отношение для спина, μB — магнетон Бора, S⃗ — оператор спинового момента.
Энергия взаимодействия спина с этим полем:
HSO = −μ⃗s ⋅ B⃗.
Подставляя выражения, получаем:
$$ H_{SO} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \cdot \frac{Ze^2}{2m^2 c^2 r^3} \cdot \vec{S} \cdot \vec{L}, $$
где L⃗ = mr⃗ × v⃗ — орбитальный момент импульса. Это выражение — классический аналог спин-орбитального взаимодействия.
С учетом спин-орбитального взаимодействия гамильтониан атома приобретает вид:
H = H0 + HSO,
где H0 — гамильтониан без учета спин-орбитального взаимодействия, включающий кинетическую энергию и кулоновское притяжение между электроном и ядром.
Спин-орбитальное взаимодействие зависит от скалярного произведения L⃗ ⋅ S⃗. Оно выражается через полный момент импульса J⃗ = L⃗ + S⃗:
$$ \vec{L} \cdot \vec{S} = \frac{1}{2} \left( \vec{J}^2 - \vec{L}^2 - \vec{S}^2 \right). $$
Тогда спин-орбитальная часть гамильтониана в сферически-симметричном поле:
$$ H_{SO} = \xi(r) \vec{L} \cdot \vec{S}, \quad \text{где} \quad \xi(r) = \frac{1}{2m^2 c^2 r} \frac{dV}{dr}, $$
и $V(r) = -\frac{Ze^2}{4\pi \varepsilon_0 r}$ — кулоновский потенциал.
Для водородоподобного атома:
$$ \xi(r) = \frac{Ze^2}{8\pi \varepsilon_0 m^2 c^2 r^3}. $$
Спин-орбитальное взаимодействие приводит к расщеплению энергетических уровней, называемому тонкой структурой. Энергия состояния зависит не только от главного квантового числа n, но и от полного момента j:
Enlj = En + ΔESO,
где En — нерелятивистская энергия (например, в водороде $E_n = -\frac{Ry}{n^2}$), а поправка:
$$ \Delta E_{SO} = \langle H_{SO} \rangle = \langle \xi(r) \vec{L} \cdot \vec{S} \rangle = \langle \xi(r) \rangle \cdot \frac{\hbar^2}{2} \left[ j(j+1) - l(l+1) - s(s+1) \right]. $$
Для электрона $s = \frac{1}{2}$, и возможные значения $j = l \pm \frac{1}{2}$. Таким образом, уровень с фиксированным n, l расщепляется на два подуровня с разными j.
Пример: уровень 2p (n = 2, l = 1) расщепляется на $j = \frac{3}{2}$ и $j = \frac{1}{2}$. Эти подуровни имеют разные энергии, что подтверждается спектроскопическими наблюдениями.
Тонкая структура проявляется в виде тонкого расщепления спектральных линий. Например, линии серии Бальмера в водороде, каждая из которых соответствует переходу между двумя энергетическими уровнями, расщепляются на несколько близко расположенных компонент.
Для водорода эта поправка невелика (порядка нескольких десятитысячных от основного уровня), но для более тяжелых атомов (с большим Z) эффект становится значительно сильнее. Это обусловлено кубической зависимостью от заряда ядра:
ΔESO ∝ Z4.
В случае щелочных атомов (Li, Na, K и др.), имеющих один валентный электрон, спин-орбитальное взаимодействие приводит к заметному расщеплению p-уровней: p1/2 и p3/2, что ясно прослеживается в двойчатой структуре их спектральных линий.
В многоэлектронных системах расчёт спин-орбитального взаимодействия значительно усложняется из-за необходимости учитывать взаимодействие между электронами и эффект экранирования. Однако применяется приближение среднего поля, при котором каждый электрон движется в усреднённом потенциале, создаваемом ядром и другими электронами.
Рассматриваются два подхода:
Выбор схемы зависит от относительной величины энергии спин-орбитального взаимодействия по сравнению с кулоновскими коррекциями конфигурации.
Спин-орбитальное взаимодействие определяет расщепление энергетических подуровней в электронных оболочках. Так, подуровень с орбитальным моментом l расщепляется на два подуровня с $j = l \pm \frac{1}{2}$. Эти подуровни имеют разные энергии и разную вырожденность:
gj = 2j + 1.
Это важно при построении электронной конфигурации и объясняет, например, последовательность заполнения 4f и 5d подуровней в лантаноидах и актиноидах.
Для точных вычислений уровней в водородоподобных ионных системах учитывают и другие поправки тонкой структуры, включая:
Суммарная поправка:
$$ \Delta E_{FS} = E_n \cdot \left( \frac{\alpha^2 Z^2}{n^2} \left( \frac{1}{j + \frac{1}{2}} - \frac{3}{4n} \right) \right), $$
где α — постоянная тонкой структуры. Этот результат вытекает из решения уравнения Дирака и согласуется с экспериментом.
Спин-орбитальное взаимодействие играет ключевую роль в современных квантовых материалах:
Кроме того, спин-орбитальное взаимодействие приводит к таким явлениям, как эффект Рашбы и эффект Дрессельхауза в твердых телах, что имеет значение при разработке квантовых вычислительных элементов и спиновых транзисторов.