Спонтанное нарушение симметрии (СНС) — это явление, при котором уравнения движения (или лагранжиан, гамильтониан) сохраняют определённую симметрию, но её не проявляет состояние системы с минимальной энергией (вакуумное состояние). Таким образом, симметрия сохраняется на уровне фундаментальных законов, но нарушается при выборе конкретного вакуума.
Классическим примером СНС является ситуация с системой, обладающей симметрией, но допускающей множество вакуумных состояний, каждое из которых эту симметрию не разделяет. Это приводит к нетривиальным физическим следствиям — например, появлению безмассовых бозонов (бозонов Голдстоуна) или массы у калибровочных бозонов (механизм Хиггса).
Рассмотрим скалярное поле ϕ с лагранжианом:
$$ \mathcal{L} = \frac{1}{2} (\partial_\mu \phi)^2 - V(\phi), $$
где потенциал имеет форму:
$$ V(\phi) = -\frac{\mu^2}{2} \phi^2 + \frac{\lambda}{4} \phi^4, $$
где μ2 > 0, λ > 0. Потенциал инвариантен относительно преобразования ϕ → −ϕ, т.е. обладает ℤ2-симметрией.
Минимум потенциала достигается при:
$$ \phi = \pm v, \quad v = \sqrt{\frac{\mu^2}{\lambda}}. $$
Таким образом, вакуум не инвариантен относительно ϕ → −ϕ. Выбор одного из состояний (например, ϕ = +v) приводит к спонтанному нарушению симметрии.
Если нарушается непрерывная симметрия, то согласно теореме Голдстоуна, в спектре возникает безмассовое скалярное возбуждение — бозон Голдстоуна.
Рассмотрим поле ϕ = (ϕ1, ϕ2) с потенциалом:
$$ V(\phi_1, \phi_2) = -\frac{\mu^2}{2}(\phi_1^2 + \phi_2^2) + \frac{\lambda}{4}(\phi_1^2 + \phi_2^2)^2. $$
Потенциал инвариантен относительно вращений в плоскости (ϕ1, ϕ2), то есть обладает симметрией O(2).
Минимум потенциала: ϕ12 + ϕ22 = v2 = μ2/λ.
Выбор конкретного направления (например, ϕ1 = v, ϕ2 = 0) нарушает эту симметрию. Линеаризуя лагранжиан около вакуума, получаем одно массовое возбуждение (радиальная мода) и одно безмассовое (угловая мода) — бозон Голдстоуна.
В калибровочной теории СНС приводит к другому результату: бозоны Голдстоуна поглощаются калибровочными бозонами, придавая им массу. Это механизм Хиггса.
Рассмотрим комплексное скалярное поле ϕ(x), взаимодействующее с U(1)-калибровочным полем Aμ. Лагранжиан:
$$ \mathcal{L} = |D_\mu \phi|^2 - V(\phi) - \frac{1}{4} F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}, $$
где Dμ = ∂μ + ieAμ, а потенциал:
V(ϕ) = −μ2|ϕ|2 + λ|ϕ|4.
Минимум достигается при $|\phi| = v/\sqrt{2},\ v = \sqrt{2\mu^2/\lambda}$. Поле можно параметризовать как:
$$ \phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2}} (v + h(x)) e^{i\theta(x)/v}. $$
Переход к единичном калибровке (unitary gauge): θ(x) = 0, остаётся только h(x). В лагранжиане появляется член e2v2AμAμ, то есть калибровочное поле приобретает массу:
mA = ev.
Тем самым, безмассовый бозон Голдстоуна исчезает из спектра, и вместо него появляется массивный калибровочный бозон. Поле h(x) — скалярное колебание вдоль радиального направления — это бозон Хиггса.
Пусть полная симметрия системы описывается группой G, а вакуум инвариантен только относительно подгруппы H ⊂ G. Тогда пространство вакуумов изоморфно фактор-пространству G/H, и количество бозонов Голдстоуна равно размерности этого пространства:
NГолдстоуна = dim (G) − dim (H).
Пример: в теории с G = SU(2), нарушаемой до H = U(1), мы имеем 3 − 1 = 2 бозона Голдстоуна (или две угловые моды, в случае нелинейной сигма-модели).
Гамильтониан спиновой системы инвариантен относительно вращений, но в ферромагнитной фазе все спины направлены в одном направлении. Это выбор конкретного вакуума, нарушающего симметрию. Спиновые волны (магноны) являются бозонами Голдстоуна.
В КХД при малых массах кварков наблюдается почти идеальная хиральная симметрия. При её спонтанном нарушении образуются пионы — приближённые бозоны Голдстоуна. Полная группа симметрии: SU(Nf)L × SU(Nf)R, нарушается до диагонального SU(Nf)V, и возникают Nf2 − 1 псевдобозонов Голдстоуна.
Состояние сверхпроводника описывается комплексным ордер-параметром. В нормальной фазе — симметрия по фазе, в сверхпроводящей — спонтанное нарушение этой симметрии. Электромагнитное поле становится массивным внутри сверхпроводника (эффект Мейснера) — аналог механизма Хиггса.
Стандартная модель элементарных частиц построена с использованием механизма спонтанного нарушения симметрии. Хиггсовское поле — SU(2)-двойка, имеющая ненулевое вакуумное среднее, нарушающее симметрию:
SU(2)L × U(1)Y → U(1)EM.
Три калибровочных бозона W±, Z0 приобретают массу, фотон остаётся безмассовым. Бозон Хиггса наблюдён экспериментально на БАК в 2012 году с массой около 125 ГэВ.
Хотя на классическом уровне СНС — это выбор вакуума, в квантовой теории этот выбор определяется функционалом Гиббса или эффективным потенциалом. В частности, эффективный потенциал учитывает вклад флуктуаций и может приводить к более сложной структуре, например, туннелированию между вакуумами (эффект Барри-Фишлера, теория инфляции).
Важный аспект — аномалии: квантовые эффекты могут нарушать симметрию, которая сохраняется на классическом уровне. Это особенно существенно при рассмотрении спонтанного нарушения глобальных симметрий.
Для глобальных симметрий СНС приводит к появлению физически наблюдаемых безмассовых частиц. Для локальных (калибровочных) симметрий — бозоны Голдстоуна «поглощаются» и становятся продольными степенями свободы массивных векторных полей. Это ключевое различие, фундаментальное в теории элементарных частиц.
Для описания динамики бозонов Голдстоуна часто используют нелинейные сигма-модели, в которых поле принимает значения в фактор-пространстве G/H. Типичный лагранжиан имеет вид:
$$ \mathcal{L} = \frac{F^2}{4} \operatorname{Tr}(\partial_\mu U \partial^\mu U^\dagger), $$
где U(x) ∈ SU(N), параметризует бозоны Голдстоуна. Эти модели эффективны при низких энергиях и активно применяются, например, в теории сильных взаимодействий и теории струн.
СНС тесно связано с топологией пространства вакуумов. Например, наличие нетривиальной первой гомотопической группы π1(G/H) ≠ 0 ведёт к существованию топологических дефектов — таких как доменные стены, вихри, монополи. Эти объекты играют важную роль в космологии и теории фазовых переходов.