Микроскопические флуктуации и их макроскопические проявления
Теория флуктуаций — неотъемлемый элемент статистической физики, объясняющий отклонения макроскопических величин от их средних значений, вызванные термическими движениями микроскопических степеней свободы. Несмотря на то, что в термодинамике принято рассматривать системы в состоянии устойчивого равновесия, в реальности всегда присутствуют случайные отклонения от этого состояния — флуктуации, имеющие фундаментальную природу.
Вероятностный подход и функции распределения
Пусть система находится в термодинамическом равновесии. Даже в этом состоянии ее макроскопические параметры — энергия, давление, объем, число частиц, намагниченность и т.п. — подвержены случайным изменениям. Эти изменения обусловлены тем, что система реализует множество микроскопических состояний с различными значениями указанных величин. Поэтому наблюдаемая величина всегда флуктуирует около среднего значения, определяемого условиями максимальной вероятности.
Если рассматривать некоторое макроскопическое обобщённое состояние, характеризуемое параметром x, то распределение вероятностей этой величины можно выразить функцией:
P(x) ∼ e−ΔS(x)/k
где ΔS(x) = S(x) − Smax — отклонение энтропии от её максимального значения при равновесии, k — постоянная Больцмана. Максимум вероятности соответствует максимуму энтропии.
Гауссовский характер малых флуктуаций
Для большинства макроскопических систем флуктуации параметров относительно малы. Разложив ΔS(x) в ряд Тейлора около точки максимума x0, получаем:
$$ \Delta S(x) \approx \frac{1}{2} \left( \frac{\partial^2 S}{\partial x^2} \right)_{x_0} (x - x_0)^2 $$
Подставляя это в выражение для вероятности, имеем:
$$ P(x) \sim \exp\left( -\frac{(x - x_0)^2}{2 \sigma^2} \right) $$
где $\sigma^2 = -\left[ k \left( \frac{\partial^2 S}{\partial x^2} \right)_{x_0} \right]^{-1}$. Это распределение — нормальное (гауссово). Таким образом, для небольших отклонений флуктуации описываются статистикой второго порядка, что объясняет широкую применимость нормального распределения в термодинамике.
Флуктуации энергии в каноническом ансамбле
Для системы, находящейся в тепловом контакте с термостатом (канонический ансамбль), энергия не является строго постоянной величиной. Её флуктуации подчиняются закону:
⟨(ΔE)2⟩ = kT2CV
где CV — теплоёмкость при постоянном объеме. Эта формула имеет важные следствия: во-первых, она показывает, что дисперсия энергии пропорциональна числу частиц (поскольку CV ∼ N); во-вторых, она указывает, что относительные флуктуации энергии:
$$ \frac{\sqrt{\langle (\Delta E)^2 \rangle}}{\langle E \rangle} \sim \frac{1}{\sqrt{N}} $$
обратнопропорциональны корню из числа частиц. Поэтому в макроскопических системах флуктуации практически не наблюдаются, что и обосновывает применимость детерминированной термодинамики.
Флуктуации числа частиц в гранканоническом ансамбле
Для систем, обменивающихся как энергией, так и частицами с внешним резервуаром, справедливо:
$$ \langle (\Delta N)^2 \rangle = kT \left( \frac{\partial \langle N \rangle}{\partial \mu} \right)_{T, V} $$
где μ — химический потенциал. Эта формула также связана с термодинамическими свойствами системы. Например, для идеального газа:
⟨(ΔN)2⟩ = ⟨N⟩
что соответствует распределению Пуассона. В этом случае относительная дисперсия также убывает как $1/\sqrt{N}$.
Флуктуации и отклонения отклика: связь с кинетикой
Флуктуации тесно связаны с явлениями неравновесного отклика. Важнейшим результатом является теорема флуктуаций-диссипации, устанавливающая связь между спектром спонтанных флуктуаций и откликом системы на внешнее возмущение.
Если A(t) — некоторая наблюдаемая величина, то линейный отклик χ(ω) на малое внешнее поле, сопряжённое с A, связан со спектром флуктуаций этой величины:
$$ \text{Im}[\chi(\omega)] \sim \frac{1}{\hbar} \tanh\left( \frac{\hbar \omega}{2kT} \right) S_A(\omega) $$
где SA(ω) — спектральная плотность флуктуаций величины A. В классическом пределе ℏ → 0 это приводит к соотношению Найквиста:
$$ S_A(\omega) = \frac{2kT}{\omega} \, \text{Im}[\chi(\omega)] $$
Это соотношение лежит в основе теории шумов в сопротивлениях, колебательных системах, флуктуационных сил и др.
Флуктуации и устойчивость равновесия
Анализ флуктуаций позволяет судить об устойчивости равновесного состояния. Если энтропия имеет максимум, то вторые производные по флуктуирующим переменным отрицательны, что обеспечивает экспоненциальное затухание вероятности отклонений.
Рассмотрим, например, систему с двумя переменными: энергией E и объемом V. Условие устойчивости требует, чтобы матрица вторых производных энтропии по этим переменным имела отрицательные собственные значения:
$$ \left( \frac{\partial^2 S}{\partial E^2} \right) < 0, \quad \left( \frac{\partial^2 S}{\partial V^2} \right) < 0, \quad \det\left( \frac{\partial^2 S}{\partial x_i \partial x_j} \right) > 0 $$
Нарушение этих условий ведёт к неустойчивости и фазовому переходу.
Критические флуктуации и рост корреляций
В окрестности критической точки флуктуации усиливаются и приобретают характер долгопробежных корреляций. Корреляционная длина ξ, характеризующая масштаб флуктуационных неоднородностей, стремится к бесконечности:
ξ ∼ |T − Tc|−ν
Параметр ν зависит от класса универсальности системы. В критической области гауссовская аппроксимация теряет применимость, и необходимо учитывать взаимодействие флуктуаций. Это приводит к неаналитичности термодинамических потенциалов и возникновению аномальных критических индексов.
Флуктуации и броуновское движение
Простейший пример флуктуационного движения — броуновское перемещение частицы в жидкости. Его теория была впервые построена Эйнштейном, который установил связь между коэффициентом диффузии и вязкостью среды:
$$ D = \frac{kT}{6 \pi \eta r} $$
Эта формула отражает фундаментальный принцип: флуктуационная подвижность прямо связана с макроскопическими коэффициентами диссипации. Данный принцип распространяется и на более сложные системы — например, колебания мембран, вихревые движения, флуктуации плотности и пр.
Флуктуации в квантовых системах
Для квантовых систем характерны как термические, так и чисто квантовые флуктуации, существующие даже при абсолютном нуле температуры. Так, в вакууме квантового поля наблюдаются флуктуации нулевой точки, приводящие к эффектам типа Казимира. В системах бозонов и фермионов флуктуации зависят от квантовой статистики, а корреляционные функции приобретают выраженные особенности.
Обобщённый подход: метод флуктуационной теории Ландау
Для систем с несколькими флуктуирующими параметрами x1, x2, …, xn энтропия представляется в виде:
$$ S = S_0 - \frac{1}{2} \sum_{i,j} \alpha_{ij} x_i x_j $$
где αij — положительно определённая симметричная матрица. Вероятность флуктуации тогда:
$$ P(x_1, \ldots, x_n) \sim \exp\left( -\frac{1}{2k} \sum_{i,j} \alpha_{ij} x_i x_j \right) $$
Отсюда можно вычислить кросс-корреляции, ковариационные матрицы и т.д. Такой подход особенно полезен при анализе флуктуаций в многофазных и мультикомпонентных системах.
Закономерности и роль флуктуаций в современной физике
Флуктуации, хоть и малы в обычных условиях, играют фундаментальную роль: они порождают шумы, влияют на устойчивость систем, инициируют фазовые переходы, формируют критические явления и управляют неравновесной динамикой. Современные эксперименты, например в мезоскопике, микрофизике и космологии, позволяют измерять флуктуации с высокой точностью, делая теорию флуктуаций краеугольным камнем современной теоретической физики.