Линейные колебания. Дифференциальные уравнения движения
Рассмотрим материальную точку массы m, совершающую малые колебания вблизи положения устойчивого равновесия под действием результирующей силы, направленной к этому положению и пропорциональной смещению. Движение описывается вторым законом Ньютона:
$$ m \ddot{x} + kx = 0, $$
где k > 0 — коэффициент жесткости системы, x(t) — смещение от положения равновесия. Это — дифференциальное уравнение гармонического осциллятора.
Решением является функция:
x(t) = Acos (ωt + φ),
где:
Общие свойства гармонических колебаний
Период колебаний: $T = \dfrac{2\pi}{\omega}$
Частота: $\nu = \dfrac{1}{T} = \dfrac{\omega}{2\pi}$
Энергия:
Полная энергия сохраняется, так как отсутствуют диссипативные силы.
Свободные колебания с затуханием
Если учесть силу сопротивления среды, пропорциональную скорости, уравнение приобретает вид:
$$ m \ddot{x} + \gamma \dot{x} + kx = 0, $$
где γ — коэффициент вязкого трения. Это — уравнение затухающего осциллятора.
Решения зависят от значения дискриминанта D = γ2 − 4mk:
Слабо затухающий режим (γ2 < 4mk):
x(t) = Ae−δtcos (ωdt + φ),
где $\delta = \dfrac{\gamma}{2m}$, $\omega_d = \sqrt{\omega^2 - \delta^2}$
Критическое затухание (γ2 = 4mk):
x(t) = (A + Bt)e−δt
Сильное (апериодическое) затухание (γ2 > 4mk):
x(t) = C1er1t + C2er2t, r1, 2 < 0
Вынужденные колебания. Резонанс
Под действием внешней гармонической силы F(t) = F0cos (Ωt), уравнение движения имеет вид:
$$ m \ddot{x} + \gamma \dot{x} + kx = F_0 \cos(\Omega t) $$
Решение состоит из суммы общего решения однородного уравнения (затухающая часть) и частного решения неоднородного уравнения (установившаяся часть):
x(t) = xуст(t) + xзат(t)
Для установившегося режима:
xуст(t) = A(Ω)cos (Ωt − ψ)
Амплитуда:
$$ A(\Omega) = \dfrac{F_0/m}{\sqrt{(\omega^2 - \Omega^2)^2 + (2\delta \Omega)^2}} $$
Фаза:
$$ \tan \psi = \dfrac{2\delta \Omega}{\omega^2 - \Omega^2} $$
Резонанс возникает при Ω ≈ ω — амплитуда колебаний достигает максимума. В пределе γ → 0, амплитуда стремится к бесконечности.
Фазовая плоскость и портреты
Рассмотрим динамику системы на плоскости (x, ẋ). Траектории соответствуют уровневым линиям энергии:
Собственные колебания в системах с несколькими степенями свободы
Рассмотрим линейную систему с n степенями свободы, где движение описывается уравнением:
$$ M \ddot{\mathbf{q}} + K \mathbf{q} = 0, $$
где q — вектор обобщённых координат, M — матрица масс, K — матрица жёсткости.
Предположим решение в виде q(t) = aeiωt, подставляя в уравнение, получаем:
(−ω2M + K)a = 0
Это — задача на собственные значения:
det (K − ω2M) = 0
Решения ωi2 — собственные частоты, а соответствующие векторы ai — формы колебаний (собственные моды).
Обобщённые координаты и моды колебаний
Общий вид колебаний записывается как линейная комбинация нормальных мод:
$$ \mathbf{q}(t) = \sum_{i=1}^n A_i \mathbf{a}_i \cos(\omega_i t + \varphi_i) $$
В отсутствии затухания и при симметричности M и K, моды ортогональны друг другу относительно скалярных произведений aiTMaj = 0 при i ≠ j.
Нелинейные колебания
При наличии нелинейных сил уравнение движения принимает вид:
$$ m \ddot{x} + f(x) = 0, $$
где f(x) — нелинейная функция, например, f(x) = kx + αx3. Такие системы описывают, например, дуффинговский осциллятор:
$$ \ddot{x} + \delta \dot{x} + \omega^2 x + \beta x^3 = F \cos(\Omega t) $$
Поведение систем с нелинейностями может быть значительно более сложным:
Метод многократных масштабов, метод возмущений
Для анализа слабонелинейных систем применяются аналитические методы:
Колебания непрерывных систем
В системах с бесконечным числом степеней свободы (струна, мембрана, стержень) колебания описываются дифференциальными уравнениями в частных производных.
Пример: одномерная колеблющаяся струна длины L:
$$ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}, \quad u(0,t) = u(L,t) = 0 $$
Собственные решения — нормальные моды:
$$ u_n(x,t) = A_n \sin\left( \frac{n\pi x}{L} \right) \cos(\omega_n t + \varphi_n), \quad \omega_n = \frac{n\pi c}{L} $$
Полное решение — разложение по собственным модам (разложение по Фурье):
$$ u(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} A_n \sin\left( \frac{n\pi x}{L} \right) \cos(\omega_n t + \varphi_n) $$
Колебания и спектральная теория
Анализ колебаний напрямую связан с спектральной теорией линейных операторов, особенно в контексте квантовой механики, акустики, теории упругости. Частоты колебаний соответствуют собственным значениям, формы — собственным функциям операторов Лапласа, Штурма-Лиувилля и др.
Связь с гамильтоновой механикой
Колебательные системы — классический пример гамильтоновых систем:
$$ H = \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2} k x^2, \quad \dot{x} = \frac{\partial H}{\partial p}, \quad \dot{p} = -\frac{\partial H}{\partial x} $$
Колебания — движение по замкнутым траекториям в фазовом пространстве при сохранении энергии. В многомерных гамильтоновых системах нормальные координаты — результат диагонализации гамильтониана через канонические преобразования.
Квантование осцилляторов
Гармонический осциллятор — один из немногих примеров, допускающих точное квантовое решение:
$$ \hat{H} = \frac{\hat{p}^2}{2m} + \frac{1}{2} m \omega^2 \hat{x}^2 $$
Собственные значения энергии:
$$ E_n = \hbar \omega \left(n + \frac{1}{2} \right), \quad n = 0, 1, 2, \dots $$
Квантование энергии отражает фундаментальную дискретность возможных колебательных состояний.