Теория Ландау фазовых переходов

Фазовые переходы и порядок параметра в теории Ландау

Теория Ландау фазовых переходов строится на предположении, что при переходе между различными фазами системы (например, жидкость — твёрдое тело, парамагнетик — ферромагнетик) возникает изменение некоторой макроскопической величины, называемой параметром порядка, который является мерой степени симметрии состояния системы. В рамках теории Ландау поведение параметра порядка описывается с помощью разложения свободной энергии в ряд по степеням этого параметра.

Параметр порядка η — это скалярная, векторная или тензорная величина, характеризующая состояние системы. Он принимает нулевое значение в симметричной фазе (высокотемпературной) и ненулевое в нарушенной фазе (низкотемпературной). Примеры параметров порядка:

в ферромагнетиках: спонтанная намагниченность M⃗,
в жидких кристаллах: степень ориентационного упорядочения,
в сверхпроводниках: комплексный порядок ψ,
в сверхтекучей жидкости: амплитуда бозе-конденсата.

Переход из симметричной фазы в фазу с нарушенной симметрией связан со спонтанным нарушением симметрии: уравнения сохраняют симметрию, но решение — нет.

Разложение свободной энергии по параметру порядка

Свободная энергия F рассматривается как функционал параметра порядка η. Близко к критической точке T_c можно разложить плотность свободной энергии f в ряд Тейлора по η с учетом симметрий системы:

$$ f(\eta) = f_0 + \frac{a}{2} \eta^2 + \frac{b}{4} \eta^4 + \frac{c}{6} \eta^6 + \cdots $$

где коэффициенты a, b, c зависят от температуры и других внешних параметров. Предполагается, что:

b > 0 — обеспечивает устойчивость системы при больших |η|,
a = a₀(T − T_c) — линейно зависит от температуры, меняя знак при переходе через критическую точку.

Минимум свободной энергии и фазовые состояния

Фазовое состояние определяется минимумом функции f(η). Рассмотрим случай четной функции (что соответствует наличию симметрии η → −η) и ограничимся разложением до четвёртого порядка:

$$ f(\eta) = f_0 + \frac{a}{2} \eta^2 + \frac{b}{4} \eta^4 $$

При a > 0

Единственный минимум свободной энергии находится при η = 0, это симметричное состояние — высокотемпературная фаза.

При a < 0

Функция имеет два минимума при $\eta = \pm \sqrt{-a/b}$, что соответствует фазе с нарушенной симметрией — низкотемпературная фаза. При этом значение параметра порядка непрерывно переходит от нуля к конечному значению при понижении температуры. Такой переход называют второго рода (или непрерывным фазовым переходом).

Классификация фазовых переходов

Согласно классификации Ландау, фазовые переходы подразделяются на:

Переходы первого рода — сопровождаются скачком параметра порядка, выделением (или поглощением) скрытой теплоты, наличие метастабильных состояний. Свободная энергия непрерывна, но её первая производная (энтропия, объем) испытывает разрыв.
Переходы второго рода — параметр порядка меняется непрерывно, но его производная по температуре (например, теплоемкость) имеет разрыв. Здесь наблюдается критическое замедление и флуктуации.

Если b < 0, а c > 0, возможна ситуация, когда функция f(η) имеет минимум при η = 0 до некоторой температуры T₁, затем — три экстремума (максимум в η = 0, два минимума при ±η₀), а при дальнейшем уменьшении температуры — минимум только в η ≠ 0. Тогда переход происходит скачком, и он является переходом первого рода.

Критическое поведение и критические индексы

В теории Ландау возможно определить поведение различных физических величин вблизи критической точки:

Порядок параметра:

$$ \eta \sim (T_c - T)^\beta, \quad \beta = \frac{1}{2} $$
Уязвимость (восприимчивость):

$$ \chi = \left( \frac{\partial \eta}{\partial h} \right)_{h \to 0} \sim |T - T_c|^{-\gamma}, \quad \gamma = 1 $$
Теплоемкость при T < T_c:

C ∼ |T − T_c|^−α, α = 0
Параметр порядка в присутствии внешнего поля h при T = T_c:

η ∼ h^1/δ, δ = 3

Эти экспоненты α, β, γ, δ называются критическими индексами. В теории Ландау они имеют универсальные значения, но в реальных системах из-за флуктуаций наблюдаются отклонения, особенно в низких размерностях.

Роль флуктуаций и область применимости

Теория Ландау игнорирует пространственные флуктуации параметра порядка. Она работает хорошо в системах высокой размерности и вдали от критической точки, где флуктуации малы. Однако вблизи критической точки флуктуации становятся существенными, и требуется учет пространственной зависимости η(r⃗).

Для этого вводится функциональная форма свободной энергии:

$$ F[\eta(\vec{r})] = \int d^3r \left[ \frac{a}{2} \eta^2 + \frac{b}{4} \eta^4 + \frac{c}{2} (\nabla \eta)^2 \right] $$

Этот подход приводит к теории Гинзбурга–Ландау, которая позволяет учитывать пространственные неоднородности и критическое поведение более точно. Оценка значимости флуктуаций производится с помощью критерия Гинзбурга, который указывает область применимости теории Ландау:

$$ \frac{\Delta C_{\text{флукт}}}{\Delta C_{\text{Ландау}}} \ll 1 $$

где ΔC — скачок теплоемкости.

Обобщения теории Ландау

Многокомпонентные параметры порядка Например, в антиферромагнетиках, сверхпроводниках, жидких кристаллах параметр порядка — это вектор или тензор, и свободная энергия содержит дополнительные инварианты.
Куплированные параметры порядка Если два фазовых перехода происходят одновременно или взаимодействуют (например, структурный и магнитный переходы), необходимо рассматривать совместное разложение по нескольким параметрам.
Случайные поля и беспорядок В системах с дефектами или примесями теория Ландау дополняется случайными полями, приводящими к новым типам критического поведения (например, в спин-стеклах).
Динамическая теория фазовых переходов Помимо термодинамического рассмотрения, интерес представляют динамические процессы — как система эволюционирует к новому состоянию, как развиваются флуктуации. Это описывается уравнениями типа Ландау–Калдаша или модели Гинзбурга–Ландау со временем.

Фазовые диаграммы и мультикритические точки

Теория Ландау позволяет качественно построить фазовые диаграммы в координатах внешних параметров (температура, давление, поле). В таких диаграммах часто возникают:

Критическая точка — конец линии первого рода, за которой фазовый переход становится непрерывным.
Точка Лифшица — где встречаются три фазы: симметричная, нарушенной симметрии, и модулированная.
Мультикритические точки — точки, где сходятся несколько линий фазовых переходов (би-, три-, тетра-критические точки).

Тонкая структура диаграмм обусловлена как формой разложения свободной энергии, так и симметрией параметра порядка.

Теория Ландау и универсальность

Одним из глубочайших результатов, следующих из теории Ландау и её обобщений, является понятие универсальных классов — различных физических систем, которые, несмотря на отличия в микроскопической структуре, демонстрируют одинаковые критические индексы и поведение вблизи критической точки. Эти классы определяются:

размерностью системы d,
размерностью параметра порядка n,
симметрией взаимодействий.

Для полного описания универсальных свойств необходим более точный аппарат — ренормгрупповой подход, который строится как обобщение идей Ландау с учетом флуктуаций на разных масштабах.