Теория возмущений в классической механике

Общие положения теории возмущений

В классической механике теория возмущений применяется к системам, чья гамильтониан можно представить в виде суммы интегрируемой части и малой добавки:

H(q, p, t) = H0(q, p) + εH1(q, p, t),

где H0 — гамильтониан точно интегрируемой системы, H1 — малое возмущение, и ε ≪ 1 — малый параметр. Главная цель метода состоит в нахождении приближённых решений уравнений движения, когда точное решение невозможно из-за присутствия H1.

Если H0 допускает описание в терминах действия-угла (I, θ), что типично для интегрируемых систем, то:

$$ H_0 = H_0(I), \quad \dot{\theta} = \frac{\partial H_0}{\partial I} = \omega(I), \quad \dot{I} = 0. $$

Возмущение нарушает инвариантность действия I, вызывая его медленное изменение во времени. Это служит отправной точкой для построения возмущённой теории.

Метод Лье — канонические преобразования с малым параметром

Пусть задано каноническое преобразование, генерируемое функцией W = θ ⋅ I′ + εW1(θ, I′) + ε2W2(θ, I′) + …. Оно переводит исходный гамильтониан H(I, θ) в новый K(I′), в котором возмущения частично или полностью устраняются.

Применяется разложение гамильтониана:

K(I′) = H0(I′) + εK1(I′) + ε2K2(I′) + ⋯,

и условия канонического преобразования позволяют получить уравнения на функции W1, W2, …, подлежащие решению на каждом порядке по ε. Основной задачей является устранение угловой зависимости из первых порядков гамильтониана, что позволяет приблизить движение к квазипериодическому виду.

Пертурбативное развитие во времени — метод вариации постоянных

Если известны точные решения невозмущённой системы q0(t), p0(t), можно искать решение возмущённой системы в виде:

q(t) = q0(t) + εq1(t) + ε2q2(t) + ⋯,  p(t) = p0(t) + εp1(t) + ε2p2(t) + ⋯.

Подстановка в уравнения Гамильтона и сравнение коэффициентов при одинаковых степенях ε позволяет получить рекуррентные уравнения на поправки qn(t), pn(t).

Временное усреднение и устранение быстроосциллирующих членов

Если гамильтониан содержит быстро осциллирующие члены, удобно применять технику временного усреднения:

$$ \langle H_1 \rangle = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} H_1(I, \theta, t)\, d\theta. $$

Это приводит к среднему уравнению для эволюции действия I:

$$ \frac{dI}{dt} = -\varepsilon \frac{\partial \langle H_1 \rangle}{\partial \theta}. $$

В случае, когда ⟨H1⟩ = 0, действие сохраняется в среднем, и система остаётся квазипериодической на достаточно больших промежутках времени.

Резонансы и нарушение устойчивости

Решающую роль в динамике играет возможность возникновения резонансов. Если частоты системы удовлетворяют условию:

n1ω1 + n2ω2 + … + nkωk = 0,  ni ∈ ℤ,  не все ni = 0,

то возникают малые знаменатели в разложениях по Фурье, и приближённые решения могут терять свою применимость. В этих случаях движение может стать хаотическим или квазихаотическим.

Возникающие при этом переходы через резонанс ведут к постепенному дрейфу действия I, что особенно важно при изучении астероидной динамики, плазмы, движения спутников и др.

Кратковременные и долговременные приближения

В кратковременной теории ограничиваются малыми временами t ≪ ε−1, что обеспечивает устойчивость разложений и надёжную аппроксимацию реального движения.

Для длительных времён необходимо учитывать эффект накопления малых отклонений. В этом случае теория требует более аккуратного учета устойчивости решений. Применяются асимптотические методы, включая канонические преобразования, устраняющие быстро осциллирующие члены, и техника нормальных форм.

Метод нормальных форм (Брикса — Грубба — Кронекера — Колмогорова)

Система преобразуется к максимально простому виду с сохранением гамильтоновой структуры. Ищется каноническое преобразование, переводящее гамильтониан в так называемую нормальную форму:

K(I, θ) = H0(I) + ε⟨H1⟩(I) + ε2H2(norm)(I) + ⋯.

Если резонансы отсутствуют, возможно построение преобразования, устраняющего угловую зависимость до любого порядка по ε. Это лежит в основе теоремы Колмогорова—Арнольда—Мозера (КАМ), согласно которой при малом возмущении большинство квазипериодических орбит сохраняется.

Теорема Колмогорова—Арнольда—Мозера (КАМ)

Теорема утверждает, что при выполнении условий:

  • система интегрируема при ε = 0;
  • частоты ω(I) удовлетворяют диофантовому условию (отсутствие резонансов);
  • возмущение аналитично и мало,

то существует каноническое преобразование, при котором большинство инвариантных тор сохраняется, и движение остаётся квазипериодическим.

Это фундаментальный результат, подтверждающий структурную устойчивость интегрируемых систем при малых возмущениях. В резонансных зонах происходит разрушение торов, что ведёт к возникновению хаотических траекторий, эффекту стохастического слоя и глобальной диффузии действия.

Примеры:

  1. Маятник с периодическим возмущением Гамильтониан:

$$ H(p, q, t) = \frac{p^2}{2m} + mg\ell (1 - \cos q) + \varepsilon q \cos(\omega t), $$

приводит к уравнению:

$$ \ddot{q} + \omega_0^2 \sin q = -\varepsilon \cos(\omega t), $$

где ω02 = g/ℓ. Применение теории возмущений позволяет исследовать стабильность положения равновесия, параметры возбуждения, переход к резонансу.

  1. Проблема Кеплера с возмущением Гамильтониан двух тел:

$$ H_0 = \frac{p^2}{2\mu} - \frac{G M \mu}{r}, $$

дополняется возмущением от третьего тела. Использование переменных действия-угла (элементы Лагранжа или Дарбу) позволяет анализировать прецессию перицентра, изменение эксцентриситета и наклона орбиты.

Выводы из метода: устойчивость, стохастичность, переходы

Теория возмущений в классической механике является мощным инструментом анализа как регулярного, так и сложного хаотического движения. Она позволяет:

  • оценивать устойчивость решений;
  • предсказывать появление резонансов;
  • описывать долгосрочную эволюцию систем;
  • строить квазипериодические приближения;
  • исследовать возникновение хаоса через разрушение инвариантных структур.

Результаты теории находят применение в небесной механике, ускорительной физике, теории плазмы, динамике молекул и других разделах физики, где движение подвержено слабым, но продолжительным возмущениям.

Оглавление