Тождественные частицы

Формализм квантовой теории тождественных частиц

В квантовой механике фундаментальное различие между частицами и классическими телами заключается в их неразличимости: тождественные частицы не имеют индивидуальности и не могут быть помечены или отслежены как отдельные сущности. Это приводит к особым статистическим свойствам и определяет форму волновой функции, описывающей систему из нескольких частиц.

Пусть имеется система из двух тождественных частиц, каждая из которых может находиться в состоянии, описываемом одночастичной волновой функцией. Пусть эти состояния обозначаются как ψ1(x) и ψ2(x), где x — совокупность координат и спиновых переменных.

Если бы частицы были различимы, полная волновая функция системы записывалась бы как произведение:

  Ψ(x₁, x₂) = ψ1(x₁)ψ2(x₂)

Однако для тождественных частиц требуется, чтобы наблюдаемые величины не изменялись при перестановке частиц. Это приводит к условию симметрии или антисимметрии полной волновой функции:

  • Для бозонов (частицы с целым спином):

  Ψ(x₁, x₂) = +Ψ(x₂, x₁)

  • Для фермионов (частицы с полуцелым спином):

  Ψ(x₁, x₂) = −Ψ(x₂, x₁)

Из этих требований следует, что допустимая волновая функция для бозонов строится как симметрическая комбинация:

  Ψ+(x₁, x₂) = (1/√2) [ψ1(x₁)ψ2(x₂) + ψ1(x₂)ψ2(x₁)]

а для фермионов — как антисимметричная:

  Ψ−(x₁, x₂) = (1/√2) [ψ1(x₁)ψ2(x₂) − ψ1(x₂)ψ2(x₁)]

Для случая ψ1 = ψ2 в антисимметричной комбинации Ψ− = 0, что означает принцип запрета Паули: два фермиона не могут находиться в одном квантовом состоянии.

Симметрия при перестановках

Обобщим на случай N тождественных частиц. Полная волновая функция Ψ(x₁, …, xN) должна быть симметричной (для бозонов) или антисимметричной (для фермионов) при перестановке любых двух переменных xi и xj. Эти преобразования составляют группу перестановок SN.

Пусть P — элемент этой группы. Тогда:

  • Для бозонов: Ψ(Px₁, …, PxN) = Ψ(x₁, …, xN)
  • Для фермионов: Ψ(Px₁, …, PxN) = sgn(P) Ψ(x₁, …, xN)

Здесь sgn(P) = ±1 — знак перестановки: +1 для чётной, −1 для нечётной.

Пространства симметричных и антисимметричных состояний

Состояния системы тождественных частиц принадлежат не всему тензорному произведению одночастичных пространств, а его подпространству:

  • Симметрическая часть (бозоны): SymN(ℋ)
  • Антисимметрическая часть (фермионы): AltN(ℋ)

Для фермионов на этом строится детерминант Слейтера — способ построения полностью антисимметричной волновой функции:

  Ψ(x₁, …, xN) = (1/√N!) det [ψi(xj)]i,j=1…N

Каждая строка матрицы — однопетичные состояния, каждый столбец — координаты различных частиц.

Операторы и наблюдаемые

Оператор наблюдаемой в системе тождественных частиц должен быть инвариантен при перестановках. Так, оператор полной энергии:

  Ĥ = ∑i=1N ĥ(i) + ∑i<j V(xi, xj)

здесь ĥ(i) — гамильтониан i-й частицы, а V — симметричный потенциал взаимодействия. Такие операторы коммутируют с операторами перестановки, что обеспечивает сохранение симметрии состояний при эволюции системы.

Квантовая статистика

Бозе-Эйнштейновская статистика (бозоны)

Бозоны могут занимать одно и то же квантовое состояние в неограниченном числе. Среднее число частиц в состоянии с энергией ε при температуре T и химическом потенциале μ:

  n(ε) = 1 / [exp((ε − μ)/kT) − 1]

Отсюда следуют такие явления, как конденсация Бозе–Эйнштейна — макроскопическое заполнение основного состояния при низких температурах.

Ферми–Дираковская статистика (фермионы)

Фермионы подчиняются принципу запрета Паули, и максимум — одна частица на квантовое состояние:

  n(ε) = 1 / [exp((ε − μ)/kT) + 1]

Эта статистика описывает поведение электронов в металлах, нейтронов в нейтронных звёздах и др.

Спиновая статистика

Согласно теореме о спин-статистике, которая вытекает из релятивистской квантовой теории поля, частицы с:

  • целым спином (s = 0, 1, 2, …) — бозоны, симметричные состояния;
  • полуцелым спином (s = ½, 3/2, …) — фермионы, антисимметричные состояния.

Это наблюдаемое в природе правило подтверждено экспериментально и лежит в основе различия в поведении бозонов и фермионов.

Вторичный квантовый формализм

Для описания систем большого числа тождественных частиц используется формализм вторичного квантования, в котором:

  • состояние определяется не координатами частиц, а числом частиц в каждом квантовом состоянии;
  • используются операторы рождения a†k и уничтожения ak.

Они удовлетворяют различным коммутационным соотношениям:

  • Бозоны: [ak, a†l] = δkl, остальные коммутаторы = 0
  • Фермионы: {ak, a†l} = δkl, остальные антикоммутаторы = 0

Эти правила автоматически обеспечивают нужную симметрию волновых функций и упрощают вычисления в многочастичных системах.

Квантовые эффекты тождественности

  1. Обменное взаимодействие: возникает не из физического потенциала, а из симметрии волновой функции. У фермионов приводит к эффективному отталкиванию (например, в электронной оболочке атома), у бозонов — к склонности к кластеризации.

  2. Корреляции без взаимодействия: даже в отсутствие классического взаимодействия тождественные частицы коррелированы. Это проявляется в эффектах вроде плотности состояния, теплоёмкости, давления.

  3. Статистическое отталкивание/притяжение: фермионы, из-за запрета Паули, отталкиваются в фазовом пространстве; бозоны, наоборот, стремятся собраться вместе.

Примеры физических систем

  • Электроны в атомах, молекулах, твёрдых телах: фермионы, obey principle Паули, детерминанты Слейтера.
  • Фотоны в лазере: бозоны, могут накапливаться в одном моде поля.
  • Квазичастицы (магноны, фононы): тоже описываются как бозоны.
  • Ядра с четным и нечетным числом нуклонов: проявляют бозонные или фермионные свойства соответственно.

Симметрия или антисимметрия волновых функций тождественных частиц лежит в основе широкого класса квантовых явлений и играет фундаментальную роль в построении теоретической физики. Она приводит к специфическим законам статистики, квантовым корреляциям и определяет коллективное поведение систем, состоящих из большого числа частиц.

Оглавление