Одномерное уравнение Шрёдингера и волновая функция
Рассмотрим систему, состоящую из частицы массы m, движущейся в одномерном потенциальном поле V(x). Основной постулат квантовой механики утверждает, что состояние такой системы полностью описывается комплекснозначной функцией ψ(x, t), называемой волновой функцией. Вероятность обнаружения частицы в интервале [x, x + dx] в момент времени t равна |ψ(x, t)|2dx.
Волновая функция подчиняется уравнению Шрёдингера — основному динамическому уравнению квантовой механики:
$$ i \hbar \frac{\partial \psi(x, t)}{\partial t} = \left[ -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2} + V(x) \right] \psi(x, t) $$
Это уравнение представляет собой квантово-механический аналог классического закона сохранения энергии. Его левая часть описывает изменение состояния системы во времени, а правая — действие гамильтониана (оператора полной энергии) на волновую функцию.
Стационарное уравнение Шрёдингера
Если потенциал V(x) не зависит от времени, решение уравнения Шрёдингера может быть найдено методом разделения переменных. Ищем решение в виде:
ψ(x, t) = ϕ(x)e−iEt/ℏ
Подстановка в исходное уравнение приводит к стационарному уравнению Шрёдингера:
$$ \hat{H} \phi(x) = E \phi(x), \quad \text{где } \hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} + V(x) $$
Это уравнение аналогично задачам на собственные значения в линейной алгебре: ищутся функции ϕ(x), для которых оператор Ĥ действует как умножение на число E, называемое энергией.
Смысл волновой функции и нормировка
Функция ψ(x, t) должна быть нормированной:
∫−∞∞|ψ(x, t)|2dx = 1
В стационарных задачах достаточно нормировать ϕ(x):
∫−∞∞|ϕ(x)|2dx = 1
Это условие обеспечивает интерпретацию |ϕ(x)|2 как плотности вероятности.
Примеры решения уравнения Шрёдингера
1. Частица в бесконечно глубокой потенциальной яме:
$$ V(x) = \begin{cases} 0, & 0 < x < L \\ \infty, & x \leq 0 \text{ или } x \geq L \end{cases} $$
Внутри ямы:
$$ -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2 \phi}{dx^2} = E \phi(x) \quad \Rightarrow \quad \frac{d^2 \phi}{dx^2} + k^2 \phi = 0, \quad k = \frac{\sqrt{2mE}}{\hbar} $$
Общее решение:
ϕ(x) = Asin (kx) + Bcos (kx)
Граничные условия: ϕ(0) = ϕ(L) = 0. Это приводит к квантованию энергии:
$$ k_n = \frac{n\pi}{L}, \quad E_n = \frac{\hbar^2 \pi^2 n^2}{2mL^2}, \quad n = 1, 2, 3, \dots $$
Нормированные собственные функции:
$$ \phi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left( \frac{n\pi x}{L} \right) $$
Таким образом, спектр энергии дискретен, что является прямым следствием граничных условий и волновой природы частицы.
2. Потенциальный барьер и туннелирование:
Рассмотрим потенциальный барьер высоты V0, ширины a:
$$ V(x) = \begin{cases} 0, & x < 0 \\ V_0, & 0 \leq x \leq a \\ 0, & x > a \end{cases} $$
Если энергия частицы E < V0, то в классической механике прохождение невозможно. Однако в квантовой механике имеется туннельный эффект — ненулевая вероятность прохождения частицы сквозь барьер.
Решение уравнения Шрёдингера по частям даёт амплитуды отражения и прохождения, из которых вычисляется коэффициент туннелирования:
$$ T = \exp\left(-2a \sqrt{\frac{2m(V_0 - E)}{\hbar^2}} \right) $$
Таким образом, уравнение Шрёдингера объясняет явления, невозможные в классической физике.
Общий вид уравнения Шрёдингера в трёхмерном пространстве
В пространстве трёх измерений стационарное уравнение Шрёдингера принимает вид:
$$ \left[ -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 + V(\vec{r}) \right] \psi(\vec{r}) = E \psi(\vec{r}) $$
где $\nabla^2 = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2}$ — лапласиан, r⃗ = (x, y, z).
Примеры: атом водорода, гармонический осциллятор, кулоновский потенциал — все сводятся к решению этого уравнения в различных системах координат.
Операторная форма и эрмитовость гамильтониана
Квантовомеханические наблюдаемые (энергия, импульс, координата и др.) представлены эрмитовыми операторами. Гамильтониан Ĥ также является эрмитовым:
⟨ψ|Ĥϕ⟩ = ⟨Ĥψ|ϕ⟩
Это свойство гарантирует, что собственные значения E — вещественны, а собственные функции — ортонормированы.
Принцип суперпозиции и разложение по собственным функциям
Если {ϕn(x)} — полная ортонормированная система собственных функций, то любое решение общего уравнения можно представить как суперпозицию:
ψ(x, t) = ∑ncnϕn(x)e−iEnt/ℏ
Коэффициенты cn определяются начальными условиями:
cn = ∫ϕn*(x)ψ(x, 0)dx
Это разложение позволяет проследить эволюцию волновой функции во времени.
Классический предел и принцип соответствия
В пределе ℏ → 0 уравнение Шрёдингера переходит в уравнение Гамильтона — Якоби, что согласуется с принципом соответствия. Например, в случае высоких квантовых чисел n ≫ 1 распределение вероятности |ϕn(x)|2 стремится к классическому распределению плотности вероятности.
Симметрии и сохраняющиеся величины
Если гамильтониан инвариантен относительно преобразований (сдвигов, вращений и пр.), соответствующий оператор коммутирует с Ĥ, и связанная с ним физическая величина сохраняется во времени. Например:
Это следует из уравнения Гейзенберга для оператора Â:
$$ \frac{d\hat{A}}{dt} = \frac{1}{i \hbar} [\hat{A}, \hat{H}] + \left( \frac{\partial \hat{A}}{\partial t} \right) $$
Если [Â, Ĥ] = 0 и оператор не зависит явно от времени, то величина, соответствующая Â, сохраняется.
Обобщения и релятивистские уравнения
Уравнение Шрёдингера — нерелятивистское. При высоких энергиях необходима релятивистская теория:
Эти уравнения учитывают как квантовые, так и релятивистские свойства.
Квантование как спектральная задача
Уравнение Шрёдингера есть спектральная задача для эрмитова оператора Ĥ. Спектр может быть дискретным, непрерывным или смешанным. Дискретные уровни соответствуют связанным состояниям, непрерывный спектр — свободным или рассеянным.
Значимость уравнения Шрёдингера
Уравнение Шрёдингера лежит в основании всей квантовой физики. Его применение охватывает:
Оно демонстрирует фундаментальный отход от классических представлений, вводит вероятностную природу микромира, и определяет структуру вещества на всех масштабах.