Тензорное уравнение поля гравитации
Уравнения Эйнштейна играют фундаментальную роль в общей теории относительности, формулируя взаимосвязь между геометрией пространства-времени и распределением материи и энергии. Эти уравнения представляют собой систему десяти нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка, в которых геометрические свойства пространства-времени выражаются через метрический тензор, а источники гравитационного поля — через тензор энергии-импульса.
Тензор Эйнштейна
Ключевым элементом уравнений Эйнштейна является тензор Эйнштейна:
$$ G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} R g_{\mu\nu} $$
Здесь:
Тензор Эйнштейна обладает свойством ковариантной сохранности:
∇μGμν = 0
Это тождество, вытекающее из геометрических свойств связности Леви-Чивита, играет важную роль в согласовании с законом сохранения энергии и импульса.
Основное уравнение поля
Полное уравнение гравитационного поля Эйнштейна в присутствии материи имеет вид:
$$ G_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu} $$
где:
Левая часть уравнения описывает геометрию пространства-времени, а правая часть — распределение материи и энергии, которое искривляет пространство-время.
Физический смысл уравнений Эйнштейна
Уравнения Эйнштейна утверждают, что искривление пространства-времени пропорционально локальному распределению энергии и импульса. Материя диктует геометрии, как ей искривляться, а геометрия — материи, как ей двигаться. Вакуумное уравнение поля (при Tμν = 0) имеет вид:
$$ R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} R g_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = 0 $$
Особый интерес представляет случай Λ = 0, приводящий к:
Rμν = 0
которое описывает свободное гравитационное поле, например, вне сферически симметричного тела (решение Шварцшильда).
Ковариантность и сохранение энергии
Из уравнения:
∇μGμν = 0 ⇒ ∇μTμν = 0
следует закон сохранения энергии и импульса в криволинейном пространстве. Это выражение не является постулируемым отдельно законом, а автоматически вытекает из геометрической структуры уравнений. Таким образом, уравнения Эйнштейна интегрируют динамику материи и геометрии в единую теоретическую структуру.
Тензор энергии-импульса
Форма Tμν зависит от природы вещества:
Tμν = (ε + p)uμuν − pgμν
где ε — плотность энергии, p — давление, uμ — 4-скорость элемента жидкости;
$$ T^{\mu\nu} = \frac{1}{\mu_0} \left( F^{\mu\alpha} F^\nu_{\ \alpha} - \frac{1}{4} g^{\mu\nu} F^{\alpha\beta} F_{\alpha\beta} \right) $$
где Fμν — тензор электромагнитного поля.
Вариационный вывод уравнений Эйнштейна
Уравнения Эйнштейна могут быть получены из принципа наименьшего действия. Гравитационная часть действия — действие Эйнштейна-Гильберта:
$$ S_g = \frac{c^3}{16\pi G} \int (R - 2\Lambda) \sqrt{-g} \, d^4x $$
Варьируя полное действие S = Sg + Sm по gμν, где Sm — действие материи, получаем уравнение:
$$ \delta S = 0 \Rightarrow G_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu} $$
Этот путь вывода подчеркивает фундаментальный характер уравнений Эйнштейна как уравнений Эйлера-Лагранжа гравитационного поля.
Симметрии и инвариантность
Уравнения Эйнштейна ковариантны относительно общих (диффеоморфных) преобразований координат. Это означает, что они сохраняют свою форму при произвольных гладких преобразованиях координат:
xμ → x′μ = fμ(xν)
Это отражает глубокий принцип общей ковариантности, лежащий в основе общей теории относительности. В то же время локальная лоренц-инвариантность сохраняется в каждой точке пространства-времени благодаря локальной инерциальной системе координат.
Число уравнений и неизвестных
Метрический тензор gμν симметричен, содержит 10 независимых компонент. Тензор энергии-импульса также симметричен и имеет 10 компонент. Уравнения Эйнштейна — 10 скалярных уравнений для 10 функций gμν. Однако из-за тождеств Бьянки 4 уравнения оказываются зависимыми, что соответствует свободе выбора координат (4 произвольные функции). Таким образом, в уравнении остаётся 6 независимых уравнений и 4 координатные функции, аналогично числу степеней свободы гравитационного поля.
Примеры решений уравнений Эйнштейна
$$ ds^2 = \left(1 - \frac{2GM}{c^2 r}\right) c^2 dt^2 - \left(1 - \frac{2GM}{c^2 r}\right)^{-1} dr^2 - r^2 d\Omega^2 $$
Используется для описания внешнего поля сферического тела, черных дыр и гравитационного смещения частот.
$$ ds^2 = c^2 dt^2 - a^2(t) \left[ \frac{dr^2}{1 - k r^2} + r^2 d\Omega^2 \right] $$
Решение, описывающее однородную и изотропную Вселенную, лежащее в основе современной космологии.
Метрика Керра — решение для вращающейся черной дыры.
Гравитационные волны — рябь в пространстве-времени, распространяющаяся со скоростью света. В линейном приближении:
$$ \Box \bar{h}_{\mu\nu} = -\frac{16\pi G}{c^4} T_{\mu\nu} $$
где h̄μν — возмущение метрики на фоне плоского пространства.
Линейное приближение уравнений Эйнштейна
В слабом поле метрика записывается как:
gμν = ημν + hμν, |hμν| ≪ 1
и уравнения Эйнштейна линеаризуются:
$$ \Box \bar{h}_{\mu\nu} = -\frac{16\pi G}{c^4} T_{\mu\nu} $$
что приводит к аналогии с уравнениями Максвелла. Здесь можно ввести аналог гравитационного потенциала и получить ньютоновский предел:
$$ \Phi = -\frac{1}{2} h_{00} \Rightarrow \nabla^2 \Phi = 4\pi G \rho $$
таким образом, ньютоновская теория является предельным случаем общей теории относительности при слабых полях и малых скоростях.
Космологическая постоянная
Введение Λ в уравнение Эйнштейна было первоначально мотивировано желанием получить стационарную Вселенную. Современная космология интерпретирует Λ как энергию вакуума или темную энергию. Она ведёт к ускоренному расширению Вселенной и имеет плотность энергии:
$$ \rho_\Lambda = \frac{\Lambda c^2}{8\pi G} $$
Термин Λgμν сохраняет ковариантность уравнения, оставаясь геометрическим членом.
Гравитация как геометрия
Основная идея, заложенная в уравнения Эйнштейна, заключается в том, что гравитация — это не сила в классическом понимании, а проявление геометрических свойств пространства-времени. Геодезические линии, вдоль которых движутся свободные частицы, определяются исключительно метрикой, решение которой и задаёт уравнение Эйнштейна.