Система уравнений Максвелла описывает динамику электромагнитного поля во всем пространстве и времени. В дифференциальной форме она представлена четырьмя уравнениями:
$$ \nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0} $$
Это уравнение отражает тот факт, что источником электрического поля являются электрические заряды.
∇ ⋅ B = 0
Из него следует отсутствие магнитных монополей: магнитные силовые линии всегда замкнуты.
$$ \nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} $$
Временное изменение магнитного поля вызывает появление вихревого электрического поля.
$$ \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} $$
Вихревое магнитное поле создаётся как токами проводимости, так и током смещения, пропорциональным производной электрического поля по времени.
Для практических вычислений и интерпретации уравнения Максвелла часто удобно записывать в интегральной форме:
$$ \oint_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{S} = \frac{1}{\varepsilon_0} \int_V \rho\, dV $$
∮SB ⋅ dS = 0
$$ \oint_C \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} = -\frac{d}{dt} \int_S \mathbf{B} \cdot d\mathbf{S} $$
$$ \oint_C \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l} = \mu_0 \int_S \mathbf{J} \cdot d\mathbf{S} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{d}{dt} \int_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{S} $$
Интегральная форма подчеркивает глобальный характер взаимодействий — через поток и циркуляцию полей.
Электромагнитное поле описывается векторными функциями E(r, t) и B(r, t). Для анализа в релятивистской форме удобно вводить тензор электромагнитного поля:
$$ F^{\mu \nu} = \begin{bmatrix} 0 & -E_x/c & -E_y/c & -E_z/c \\ E_x/c & 0 & -B_z & B_y \\ E_y/c & B_z & 0 & -B_x \\ E_z/c & -B_y & B_x & 0 \end{bmatrix} $$
Из тензора поля можно получить два скалярных релятивистских инварианта:
Эти инварианты не изменяются при преобразованиях Лоренца и характеризуют физическую природу поля независимо от выбора инерциальной системы отсчёта.
Из уравнений Максвелла в пустом пространстве (ρ = 0, J = 0) можно вывести волновые уравнения:
$$ \Box \mathbf{E} = \nabla^2 \mathbf{E} - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2} = 0, \quad \Box \mathbf{B} = \nabla^2 \mathbf{B} - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial t^2} = 0 $$
Общие решения этих уравнений описывают плоские, сферические или более сложные волны, распространяющиеся со скоростью света $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}$.
Плоская монохроматическая волна в вакууме может быть описана как:
$$ \mathbf{E}(\mathbf{r}, t) = \mathbf{E}_0 \cos(\mathbf{k} \cdot \mathbf{r} - \omega t), \quad \mathbf{B} = \frac{1}{c} \hat{\mathbf{k}} \times \mathbf{E} $$
Здесь:
В электромагнитной волне в вакууме:
Плотность энергии электромагнитного поля:
$$ u = \frac{1}{2} \varepsilon_0 \mathbf{E}^2 + \frac{1}{2\mu_0} \mathbf{B}^2 $$
Вектор Пойнтинга:
$$ \mathbf{S} = \frac{1}{\mu_0} \mathbf{E} \times \mathbf{B} $$
Он представляет собой плотность потока энергии — вектор, указывающий направление и величину переноса энергии электромагнитного поля в единицу времени через единичную площадь.
Импульс поля также связан с вектором Пойнтинга:
$$ \mathbf{p}_{\text{field}} = \frac{1}{c^2} \mathbf{S} $$
Уравнение сохранения энергии (в дифференциальной форме):
$$ \frac{\partial u}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{S} = -\mathbf{J} \cdot \mathbf{E} $$
Правая часть описывает работу поля над токами, т.е. преобразование электромагнитной энергии в механическую.
В присутствии диэлектриков и магнитных материалов поле взаимодействует с микроскопическими дипольными моментами. Вводятся векторы:
Определяются вспомогательные поля:
Уравнения Максвелла в веществе принимают форму:
∇ ⋅ D = ρсв + ρсвободн, ∇ ⋅ B = 0
$$ \nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}, \quad \nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{J}_{\text{св}} + \mathbf{J}_{\text{свободн}} + \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} $$
Электрическое и магнитное поле могут быть выражены через скалярный φ и векторный A потенциалы:
$$ \mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A}, \quad \mathbf{E} = -\nabla \varphi - \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} $$
Такая форма автоматически удовлетворяет уравнению ∇ ⋅ B = 0 и позволяет переформулировать уравнения Максвелла в виде уравнений для потенциалов. Удобный выбор калибровки — калибровка Лоренца:
$$ \nabla \cdot \mathbf{A} + \frac{1}{c^2} \frac{\partial \varphi}{\partial t} = 0 $$
В этом случае потенциалы подчиняются волновым уравнениям с источниками:
$$ \Box \varphi = -\frac{\rho}{\varepsilon_0}, \quad \Box \mathbf{A} = -\mu_0 \mathbf{J} $$
Уравнения Максвелла естественным образом инвариантны относительно преобразований Лоренца. Система уравнений может быть представлена в виде:
∂μFμν = μ0Jν, ∂λFμν + ∂μFνλ + ∂νFλμ = 0
Здесь Fμν — тензор поля, Jν = (ρc, J) — 4-вектор тока, $\partial_\mu = (\frac{1}{c} \partial_t, \nabla)$ — 4-градиент.
Электромагнитное поле может быть получено из вариационного принципа. Лагранжева плотность:
$$ \mathcal{L} = -\frac{1}{4\mu_0} F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} - J^\mu A_\mu $$
Из уравнений Эйлера–Лагранжа следуют уравнения Максвелла. Этот подход особенно важен в квантовой электродинамике и теории поля.
Энергия и импульс поля описываются тензором энергии-импульса:
$$ T^{\mu\nu} = \frac{1}{\mu_0} \left( F^{\mu\lambda}F^\nu_{\ \lambda} - \frac{1}{4} \eta^{\mu\nu} F^{\lambda\sigma}F_{\lambda\sigma} \right) $$
Закон сохранения записывается как:
∂μTμν = −FνλJλ
Правая часть описывает обмен энергией и импульсом между полем и током.
Этот формализм завершает внутренне непротиворечивую и замкнутую теоретическую картину классической электродинамики, подчеркивая фундаментальность уравнений Максвелла в теоретической физике.