Формализм вариационного исчисления в теоретической физике
Центральным понятием вариационного исчисления в физике является принцип наименьшего действия. Этот принцип утверждает, что действительное движение физической системы между двумя состояниями происходит так, что функционал действия S достигает экстремального (чаще всего минимального) значения. Функционал действия определяется как интеграл от лагранжиана L по времени:
S[q(t)] = ∫t1t2L(q(t), q̇(t), t) dt,
где q(t) — обобщённые координаты системы, q̇(t) — соответствующие обобщённые скорости, L — лагранжиан системы.
Вариация действия даёт уравнение Эйлера–Лагранжа, которое и определяет динамику:
$$ \delta S = 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \right) - \frac{\partial L}{\partial q} = 0. $$
Для произвольного функционала вида
J[y] = ∫abF(x, y, y′) dx,
условие экстремальности δJ = 0 при варьировании функции y(x) с фиксированными краевыми условиями y(a) = ya, y(b) = yb, приводит к дифференциальному уравнению:
$$ \frac{\partial F}{\partial y} - \frac{d}{dx} \left( \frac{\partial F}{\partial y'} \right) = 0. $$
Это уравнение лежит в основе многих физических теорий — от механики до квантовой теории поля.
Рассмотрим свободную материальную точку массы m, движущуюся по прямой. Её лагранжиан:
$$ L = \frac{1}{2}m\dot{x}^2. $$
Подставляя в уравнение Эйлера–Лагранжа:
$$ \frac{d}{dt} \left( m \dot{x} \right) = 0 \quad \Rightarrow \quad m \ddot{x} = 0, $$
что соответствует известному закону инерции Ньютона: тело движется равномерно и прямолинейно при отсутствии сил.
Если же присутствует потенциальное поле V(x), лагранжиан принимает вид:
$$ L = \frac{1}{2}m\dot{x}^2 - V(x), $$
и уравнение Эйлера–Лагранжа даёт:
$$ m\ddot{x} = -\frac{dV}{dx}, $$
что соответствует второму закону Ньютона.
Если система описывается множеством обобщённых координат qi(t) с i = 1, …, n, лагранжиан зависит от всех этих координат и их производных:
L = L(q1, …, qn, q̇1, …, q̇n, t),
и уравнения Эйлера–Лагранжа записываются для каждого i:
$$ \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \right) - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0. $$
Принцип наименьшего действия в лагранжевой формулировке иногда называют принципом Гамильтона. Он формулируется следующим образом: реальные траектории механической системы соответствуют экстремуму (на практике — минимуму) действия S при фиксированных начальных и конечных конфигурациях.
В случае, когда варьируемая функция y(x) не фиксирована на концах x = a и x = b, требуется учитывать дополнительные условия, называемые трансверсальными. Если на одном из концов функция свободна, то дополнительно выполняется:
$$ \left. \frac{\partial F}{\partial y'} \right|_{x=a} = 0. $$
Эти условия применяются, например, в оптике при выводе закона отражения и закона преломления света с помощью принципа Ферма.
Если лагранжиан инвариантен относительно непрерывной симметрии, то существует соответствующий закон сохранения. Это утверждение формализуется в теореме Нётер.
Например, если L не зависит явно от времени t, то:
$$ \frac{d}{dt} \left( \dot{q} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} - L \right) = 0, $$
что означает сохранение полной энергии. Если лагранжиан не зависит явно от обобщённой координаты q, сохраняется соответствующий обобщённый импульс:
$$ \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \right) = 0. $$
Из лагранжиана можно перейти к гамильтониану через преобразование Лежандра:
$$ p_i = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}, \quad H = \sum_i p_i \dot{q}_i - L. $$
Тогда уравнения движения принимают форму:
$$ \dot{q}_i = \frac{\partial H}{\partial p_i}, \quad \dot{p}_i = -\frac{\partial H}{\partial q_i}, $$
что соответствует уравнениям Гамильтона. Этот формализм особенно удобен для перехода к квантовой механике и теории возмущений.
Для более сложных систем вводятся обобщённые принципы. В электродинамике используется принцип стационарности действия с 4-потенциалами Aμ:
$$ S = -\frac{1}{4} \int F_{\mu\nu} F^{\mu\nu} \, d^4x + \int j_\mu A^\mu \, d^4x, $$
где Fμν = ∂μAν − ∂νAμ — тензор электромагнитного поля, jμ — 4-ток.
Применение уравнений Эйлера–Лагранжа даёт уравнения Максвелла в вакууме.
Для релятивистской частицы в пространстве Минковского с метрикой ημν действие имеет вид:
$$ S = -mc \int ds = -mc \int \sqrt{-\eta_{\mu\nu} \frac{dx^\mu}{d\tau} \frac{dx^\nu}{d\tau}} \, d\tau, $$
где ds — элемент собственного времени. Варьирование этого действия даёт уравнения движения свободной релятивистской частицы.
Основой общей теории относительности служит принцип наименьшего действия для метрики gμν:
$$ S = \frac{c^3}{16\pi G} \int R \sqrt{-g} \, d^4x + S_{\text{мат}}, $$
где R — скаляр кривизны, g — детерминант метрического тензора. Варьирование по gμν приводит к уравнениям Эйнштейна:
$$ R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}g_{\mu\nu} R = \frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu}. $$
Квантовые поля также описываются через лагранжиан, где поля являются функциями пространства-времени. Принцип стационарности действия применяется к полевым переменным ϕ(x):
$$ \delta S[\phi] = 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} - \partial_\mu \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \phi)} \right) = 0. $$
Такой подход лежит в основе построения уравнения Клейна–Гордона, уравнения Дирака и других фундаментальных уравнений квантовой теории поля.
При необходимости изучения устойчивости решений или поведения малых флуктуаций требуется учёт вторых вариаций. Если первая вариация δS = 0, вторая вариация даёт информацию о характере экстремума (минимум, максимум или седловая точка):
$$ \delta^2 S = \int_{t_1}^{t_2} \left( \eta \frac{\partial^2 L}{\partial q^2} \eta + 2 \eta \frac{\partial^2 L}{\partial q \partial \dot{q}} \dot{\eta} + \dot{\eta} \frac{\partial^2 L}{\partial \dot{q}^2} \dot{\eta} \right) dt. $$
Знак δ2S определяет тип экстремума действия.
Вариационное исчисление играет центральную роль в римановой геометрии. Геодезические линии минимизируют длину между двумя точками. Длина кривой:
$$ s = \int_a^b \sqrt{g_{ij}(x) \dot{x}^i \dot{x}^j} \, dt, $$
варьируется по траекториям xi(t), и из этого получается уравнение геодезической:
$$ \frac{d^2 x^k}{dt^2} + \Gamma^k_{ij} \frac{dx^i}{dt} \frac{dx^j}{dt} = 0, $$
где Γijk — символы Кристоффеля.
Вариационное исчисление — это универсальный язык современной теоретической физики. Его методы лежат в основе динамики, симметрий, законов сохранения и фундаментальных уравнений поля, от механики до гравитации и квантовой теории.