Общая идея вариационных методов
Вариационные методы в теоретической физике представляют собой приближённые аналитические техники, основанные на использовании пробных функций для оценки физических величин, которые описываются уравнениями с собственными значениями, в первую очередь — уравнением Шрёдингера. Основная идея заключается в том, что знание точной формы собственных функций не обязательно для получения приближённого значения энергии основного состояния, если можно выбрать подходящую пробную функцию, зависящую от одного или нескольких варьируемых параметров.
Вариационный принцип Релея–Ритца
Пусть задан гамильтониан Ĥ, действующий в гильбертовом пространстве. Его собственные значения удовлетворяют:
Ĥψn = Enψn, E0 ≤ E1 ≤ E2 ≤ ⋯
Пусть ϕ — произвольная нормированная пробная функция: ⟨ϕ|ϕ⟩ = 1. Тогда справедливо неравенство:
E0 ≤ ⟨ϕ|Ĥ|ϕ⟩
Эта теорема и составляет основу вариационного метода: среднее значение гамильтониана по пробной функции всегда больше либо равно энергии основного состояния. Таким образом, задача сводится к нахождению минимума функционала энергии:
E[ϕ] = ⟨ϕ|Ĥ|ϕ⟩
по множеству допустимых функций ϕ.
Функционал энергии и условие экстремума
Для произвольной пробной функции ϕ(x), принадлежащей области определения гамильтониана, вариационное выражение для энергии принимает вид:
$$ E[\phi] = \frac{\int \phi^*(x) \hat{H} \phi(x) \, dx}{\int \phi^*(x) \phi(x) \, dx} $$
С целью нахождения наилучшего приближения к основному состоянию, необходимо варьировать ϕ в пределах заданного класса функций, обеспечивая экстремум функционала энергии. Это приводит к вариационному уравнению:
δ(⟨ϕ|Ĥ|ϕ⟩ − E⟨ϕ|ϕ⟩) = 0
что эквивалентно уравнению Шрёдингера для пробной функции. Это также можно понимать как метод Лагранжа для экстремизации при наложении условия нормировки.
Выбор пробных функций
Ключевая составляющая эффективности метода — удачный выбор пробной функции. Она должна удовлетворять граничным условиям задачи и по возможности повторять физические особенности точного решения (симметрия, асимптотика, поведение на бесконечности). Часто пробная функция выбирается в виде линейной комбинации ортонормированных функций:
$$ \phi(x) = \sum_{n=1}^{N} c_n \chi_n(x) $$
где {χn} — некоторый базис. Подстановка в выражение для энергии приводит к системе алгебраических уравнений для коэффициентов cn, что позволяет свести задачу к задаче линейной алгебры: решению обобщённого собственного значения.
Пример: Основное состояние атома водорода
Рассмотрим приближённое нахождение энергии основного состояния атома водорода с помощью вариационного метода. Истинная волновая функция основного состояния:
$$ \psi_{100}(r) = \frac{1}{\sqrt{\pi a_0^3}} e^{-r/a_0} $$
В качестве пробной функции выберем:
$$ \phi(r) = \frac{\beta^{3/2}}{\sqrt{\pi}} e^{-\beta r} $$
где β — варьируемый параметр. Тогда энергия запишется как:
$$ E(\beta) = \langle \phi | \hat{H} | \phi \rangle = \frac{\hbar^2 \beta^2}{2m} - \frac{e^2 \beta}{4\pi\varepsilon_0} $$
Минимизируя E(β) по β, получаем оптимальное значение β = 1/a0, что соответствует точной энергии:
$$ E_0 = -\frac{e^2}{8\pi\varepsilon_0 a_0} = -13.6 \, \text{эВ} $$
Таким образом, метод даёт точный результат при правильном выборе формы пробной функции.
Метод линейной вариации
Метод линейной вариации расширяет возможности приближённого метода путём разложения пробной функции по конечному числу базисных функций:
$$ \phi = \sum_{i=1}^N c_i \chi_i $$
Функционал энергии:
$$ E[\vec{c}] = \frac{\vec{c}^\dagger H \vec{c}}{\vec{c}^\dagger S \vec{c}} $$
где Hij = ⟨χi|Ĥ|χj⟩, Sij = ⟨χi|χj⟩. Требование стационарности по c⃗ приводит к обобщённой задаче на собственные значения:
Hc⃗ = ESc⃗
Это даёт приближённые значения энергии и соответствующие собственные векторы c⃗, определяющие форму приближённой волновой функции. При увеличении числа базисных функций точность приближения возрастает.
Применение к возбуждённым состояниям
Хотя вариационный принцип строго применим только к основному состоянию, возбуждённые состояния также можно приближённо оценить. Для этого применяются условия ортогональности пробных функций к уже найденным функциям более низких уровней:
⟨ϕn|ϕm⟩ = 0 при n ≠ m
Это приводит к усложнению вариационного функционала, но сохраняет применимость метода. Также удобно использовать ортогонализованные базисы (например, многочлены Лежандра, Эрмита и др.).
Вариационный метод в квантовой теории поля и статистике
Вариационные методы находят широкое применение и за пределами нерелятивистской квантовой механики. В квантовой теории поля вариационные принципы используются для построения приближённых вакуумных состояний, в частности, метод Богдаш–Любимова и Джекевича–Фаддеева.
В статистической физике вариационные принципы применяются для нахождения приближённого выражения для свободной энергии:
F ≤ F0 + ⟨H − H0⟩0
где H0 — вариационный гамильтониан, для которого можно найти точное выражение для свободной энергии F0, а усреднение выполняется по каноническому ансамблю, соответствующему H0. Этот принцип называется неравенством Боголюбова. Он широко используется, например, в теории спиновых систем и фазовых переходов.
Обобщения: вариационные принципы в формализме действия
Принцип наименьшего действия является вариационным принципом, лежащим в основе классической и квантовой механики. Он формулируется как:
δS = δ∫t1t2L(q, q̇, t) dt = 0
Этот принцип приводит к уравнениям Эйлера–Лагранжа и, в квантовом случае, к интегралу по траекториям Фейнмана. Таким образом, вариационные методы охватывают не только приближённые оценки, но и фундаментальные уравнения движения.
Роль в численных методах
Вариационные методы лежат в основе таких численных схем, как метод конечных элементов и метод Ритца. Они позволяют сводить дифференциальные уравнения к задачам на матричные разложения и численно реализуемым алгебраическим системам. Такие подходы широко используются в вычислительной физике, особенно в задачах электродинамики, квантовой химии, механики сплошной среды.
Ключевые преимущества метода