Векторный анализ — это математический аппарат, используемый для описания и исследования физических полей в пространстве, таких как электромагнитное или гравитационное поле. Основными объектами являются скалярные и векторные поля, а также дифференциальные операторы: градиент, дивергенция, ротор и лапласиан.
Пусть ϕ(r⃗) — скалярное поле. Градиент этого поля — это векторное поле:
$$ \vec{\nabla} \phi = \left( \frac{\partial \phi}{\partial x}, \frac{\partial \phi}{\partial y}, \frac{\partial \phi}{\partial z} \right) $$
Он указывает направление наибольшего возрастания поля и характеризует его локальные изменения в пространстве.
Для векторного поля A⃗ = (Ax, Ay, Az) дивергенция определяется как:
$$ \vec{\nabla} \cdot \vec{A} = \frac{\partial A_x}{\partial x} + \frac{\partial A_y}{\partial y} + \frac{\partial A_z}{\partial z} $$
Это скалярная величина, характеризующая источник или сток поля в данной точке. В теории поля дивергенция связана с законами сохранения.
Ротор (или вихрь) векторного поля:
$$ \vec{\nabla} \times \vec{A} = \left( \frac{\partial A_z}{\partial y} - \frac{\partial A_y}{\partial z}, \frac{\partial A_x}{\partial z} - \frac{\partial A_z}{\partial x}, \frac{\partial A_y}{\partial x} - \frac{\partial A_x}{\partial y} \right) $$
Ротор показывает локальную «вихревую» структуру поля.
Лапласиан применяется к скалярным и векторным полям. Для скаляра:
$$ \Delta \phi = \vec{\nabla} \cdot \vec{\nabla} \phi = \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2} $$
Он часто появляется в уравнениях физики, например, в уравнении Пуассона и уравнении Лапласа.
Тензорное исчисление — это обобщение векторного анализа, позволяющее работать с объектами, трансформирующимися по определённым правилам при переходе между системами координат. Тензоры необходимы для формулировки физических законов в инвариантной форме, особенно в общей теории относительности.
Тензор — это многомерный массив чисел, индексируемых по нескольким направлениям. Ранг тензора определяется числом его индексов. Например:
Пусть происходит преобразование координат xi → xi′. Тогда компоненты тензора второго ранга преобразуются по правилу:
$$ T^{i'j'} = \frac{\partial x^{i'}}{\partial x^i} \frac{\partial x^{j'}}{\partial x^j} T^{ij} $$
Это свойство тензоров и обеспечивает их физическую значимость — независимость от выбора системы отсчёта.
Компоненты с верхними индексами называются контравариантными, а с нижними — ковариантными. Преобразование контравариантных компонентов:
$$ A^{i'} = \frac{\partial x^{i'}}{\partial x^j} A^j $$
Преобразование ковариантных компонентов:
$$ A_{i'} = \frac{\partial x^j}{\partial x^{i'}} A_j $$
Подъем и опускание индексов осуществляется с помощью метрического тензора gij и его обратного gij:
Ai = gijAj, Ai = gijAj
Тензоры допускают несколько стандартных операций: сложение, умножение (в том числе свёртка), симметризация, антисимметризация и т.д.
Свертка — это операция суммирования по повторяющемуся индексу:
Tii = ∑iTii
В результате получается тензор меньшего ранга. Например, свёртка тензора второго ранга даёт скаляр (след матрицы).
Симметричная и антисимметричная части тензора второго ранга:
$$ T^{(ij)} = \frac{1}{2}(T^{ij} + T^{ji}), \quad T^{[ij]} = \frac{1}{2}(T^{ij} - T^{ji}) $$
Обычное частное производное не сохраняет тензорный характер величины при переходе между координатными системами. Для устранения этого используется ковариантная производная, которая учитывает изменение базиса.
Для векторного поля:
$$ \nabla_j A^i = \frac{\partial A^i}{\partial x^j} + \Gamma^i_{jk} A^k $$
Для ковариантного вектора:
$$ \nabla_j A_i = \frac{\partial A_i}{\partial x^j} - \Gamma^k_{ij} A_k $$
Здесь Γjki — символы Кристоффеля, зависящие от метрического тензора:
$$ \Gamma^i_{jk} = \frac{1}{2} g^{il} \left( \frac{\partial g_{lj}}{\partial x^k} + \frac{\partial g_{lk}}{\partial x^j} - \frac{\partial g_{jk}}{\partial x^l} \right) $$
Ковариантное дифференцирование сохраняет тензорный характер производной и играет ключевую роль в римановой геометрии и общей теории относительности.
В римановой геометрии важным объектом является тензор кривизны Римана:
Rjkli = ∂kΓjli − ∂lΓjki + ΓkmiΓjlm − ΓlmiΓjkm
Он описывает, как вектор, параллельно переносимый по замкнутому контуру, изменяется в зависимости от кривизны пространства.
Из тензора Римана получают:
Эти величины лежат в основе уравнений Эйнштейна:
$$ G_{ij} = \frac{8\pi G}{c^4} T_{ij} $$
где Tij — тензор энергии-импульса, а G и c — гравитационная постоянная и скорость света соответственно.
Тензорное исчисление находит широкое применение в электродинамике, теории упругости, гидродинамике и особенно в теории относительности. Например, тензор электромагнитного поля Fμν, удовлетворяющий уравнениям Максвелла:
∂μFμν = μ0Jν
где Jν — четырёхвектор плотности тока, а μ0 — магнитная постоянная.
В механике сплошных сред используются тензоры деформации и напряжений: симметричные тензоры второго ранга, описывающие внутренние состояния материала под действием внешних нагрузок.
В квантовой теории поля и общем описании физических взаимодействий тензоры описывают перенос энергии, импульса, зарядов и другие фундаментальные величины в виде инвариантных уравнений.
Современный язык физики — это язык дифференциальных форм, основанный на внешнем дифференцировании и клиффордовой алгебре. Это позволяет обобщить тензорный анализ и применять его в контексте произвольных многообразий. Например, уравнения Максвелла могут быть лаконично записаны как:
dF = 0, d ⋆ F = ⋆J
где F — 2-форма электромагнитного поля, ⋆ — операция Ходжа, J — 3-форма плотности тока.
Векторный анализ и тензорное исчисление составляют математическую основу для формализации и анализа всех фундаментальных взаимодействий в физике. Они позволяют излагать физические законы в форме, не зависящей от выбора системы координат, что делает их краеугольным камнем теоретической физики.