Линейные и нелинейные волны в плазме
Плазма — это среда, обладающая высокой степенью подвижности заряженных частиц, что делает возможным существование в ней самых разнообразных типов волн. Эти волны играют фундаментальную роль в процессах переноса энергии, импульса и заряда, а также в динамике и устойчивости плазменных систем. Ниже последовательно рассматриваются основные типы волн, их дисперсионные свойства и физические механизмы распространения.
Одним из фундаментальных типов колебаний в плазме являются волны Лэнгмюра — продольные (электростатические) колебания плотности электронов при почти неподвижных ионах.
Начнем с линейного приближения. Рассмотрим однородную, несвязную, покоящуюся плазму, подверженную малому возмущению. Уравнение движения электронов в электростатическом поле:
$$ m_e \frac{d \vec{v}}{dt} = -e \vec{E} $$
связано с уравнением непрерывности и уравнением Пуассона:
$$ \frac{\partial n_e}{\partial t} + \nabla \cdot (n_0 \vec{v}) = 0,\qquad \nabla \cdot \vec{E} = 4\pi e (n_e - n_0) $$
Предполагая гармоническую зависимость всех величин ∼ ei(k⃗ ⋅ r⃗ − ωt), получаем дисперсионное соотношение волны Лэнгмюра:
ω2 = ωpe2 + 3k2vTe2
где $\omega_{pe} = \sqrt{4\pi n_0 e^2 / m_e}$ — плазменная частота электронов, $v_{Te} = \sqrt{T_e / m_e}$ — тепловая скорость электронов.
В длинноволновом пределе k → 0, частота стремится к ωpe, что отражает характерный резонанс колебаний.
Если предположить, что электроны быстро адаптируются к возмущениям, а ионы инерционные, можно вывести ионно-звуковую волну, аналог звуковой волны в нейтральной среде, но с подвижными заряженными компонентами:
$$ \omega^2 = \frac{k^2 T_e}{m_i (1 + k^2 \lambda_D^2)} $$
где $\lambda_D = \sqrt{T_e / 4\pi n_0 e^2}$ — дебаевская длина. Эти волны существуют только при наличии температурного различия между ионами и электронами.
Рассмотрим распространение поперечных волн, когда колебания электрического поля перпендикулярны вектору волнового числа.
Для поперечной электромагнитной волны уравнения Максвелла в совокупности с уравнениями движения дают:
k2c2 = ω2 − ωpe2
Это соотношение описывает затухание волн в области ниже плазменной частоты — волны не распространяются, если ω < ωpe: они отражаются от плазмы. Такая плазма ведёт себя как отражающий экран.
Если в плазме присутствует внешнее магнитное поле B⃗0, волны становятся анизотропными, их свойства зависят от угла между направлением волны и вектором B⃗0.
В случае распространения волны вдоль B⃗0 (k⃗ ∥ B⃗0) выделяются два решения:
k2c2 = ω2 − ωpe2
ω2 = ωpe2 + ωce2
где ωce = eB0/mec — электронная циклотронная частота.
Когда ионы также включены в движение и магнитное поле ненулевое, возможны магнитогидродинамические (МГД) волны, важнейшей разновидностью которых являются волны Альфвена. Они представляют собой колебания магнитного поля и плазмы как единого целого, распространяясь вдоль силовых линий:
$$ \omega = k_\parallel v_A,\qquad v_A = \frac{B_0}{\sqrt{4\pi \rho}} $$
где ρ — массовая плотность плазмы, vA — скорость Альфвена. Эти волны играют ключевую роль в астрофизических плазмах, например, в солнечном ветре и короне.
В нелинейных режимах плазма демонстрирует богатую динамику. Одна из важнейших моделей — уравнение КдВ (Кортевега – де Фриза), описывающее слабонелинейные и слабодисперсионные ионно-звуковые волны:
$$ \frac{\partial \phi}{\partial t} + a \phi \frac{\partial \phi}{\partial x} + b \frac{\partial^3 \phi}{\partial x^3} = 0 $$
Здесь ϕ — потенциал электрического поля, коэффициенты a, b зависят от параметров плазмы. Это уравнение допускает устойчивые солитонные решения:
$$ \phi(x, t) = \phi_0 \,\text{sech}^2\left(\frac{x - Vt}{\Delta}\right) $$
где V — скорость солитона, Δ — его ширина. Такие структуры наблюдаются в лабораторных и космических условиях.
Одним из уникальных для плазмы механизмов затухания является Ландауовское демпфирование — необратимое поглощение волновой энергии резонансной группой частиц без соударений. Это происходит при совпадении фазовой скорости волны с тепловой скоростью частицы:
$$ \gamma \sim -\pi \frac{\omega_{pe}^2}{k} \frac{\partial f_0}{\partial v}\bigg|_{v = \omega/k} $$
Если ∂f0/∂v < 0, т.е. при нормальном распределении Максвелла, демпфирование положительно, волна затухает. Этот эффект невозможен в гидродинамических теориях.
Если частота волны близка к циклотронной частоте заряженных частиц, происходит резонансное поглощение — аналог электромагнитного резонанса:
ω − k∥v∥ = nωc
где n — целое число, ωc — циклотронная частота. Это явление используется в технологиях нагрева плазмы, например, в токамаках.
В реальных условиях плазма часто бывает неоднородной (градиенты плотности, температуры, магнитного поля) или нестабильной. Эти факторы порождают новые типы волн и нестабильностей.
Если в плазме существует градиент плотности ∇n перпендикулярно B⃗0, возникают волны дрейфа:
$$ \omega = \omega_*\left(1 + \frac{k^2 \rho_s^2}{1 + k^2 \lambda_D^2}\right)^{-1} $$
где ω* = kyTe/eB ⋅ dln n/dx — частота дрейфовой неустойчивости, ρs — ионный радиус Лармора. Эти волны важны в теории турбулентности и переноса частиц в магнитных ловушках.
Наличие сдвигов скорости, температурных градиентов или токов может порождать кинетические нестабильности, такие как:
Плазменные волны представляют собой сложное и многообразное явление. В отличие от нейтральных сред, где основными механизмами являются акустические и электромагнитные волны, в плазме присутствует тонкое взаимодействие полей и частиц, наличие резонансных эффектов, нелинейных мод и самоструктурирования. Волны в плазме являются основой для понимания многих явлений как в лабораторной, так и в космической физике: от генерации радиоволн в ионосфере до транспорта энергии в солнечной короне.