Вторичное квантование

Квантование поля. Вторичное квантование

В классической теории поля состояние физической системы описывается функцией, зависящей от пространственно-временных координат, например, ϕ(r, t) — скалярное поле, или ψ(r, t) — поле, описывающее электронную волну. При переходе к квантовой теории возникает необходимость учитывать дискретность энергии и корпускулярные свойства излучения и материи. Однако в отличие от первой квантовой механики, где квантованию подвергаются обобщённые координаты и импульсы, при вторичном квантовании квантованию подвергаются сами поля.

Основная идея вторичного квантования

Вторичное квантование — это процедура, при которой поля рассматриваются как операторы, действующие в специальном пространстве состояний — фоковском пространстве, и создающие или уничтожающие кванты возбуждения поля (частицы). В этой формализме уже не отдельные частицы описываются волновыми функциями, а сама система частиц представляется через поле, порождающее частицы и управляющее их взаимодействием.

Главным математическим объектом здесь становится операторное поле:

ψ̂(r, t) — оператор уничтожения частицы в точке r,
ψ̂^†(r, t) — оператор рождения частицы.

Коммутационные и антикоммутационные соотношения

Поведение этих операторов определяется природой частиц:

Для бозонов (подчиняются статистике Бозе — Эйнштейна):

[ψ̂(r), ψ̂^†(r′)] = δ(r − r′), [ψ̂(r), ψ̂(r′)] = [ψ̂^†(r), ψ̂^†(r′)] = 0

Для фермионов (подчиняются статистике Ферми — Дирака):

{ψ̂(r), ψ̂^†(r′)} = δ(r − r′), {ψ̂(r), ψ̂(r′)} = {ψ̂^†(r), ψ̂^†(r′)} = 0

Здесь квадратные скобки обозначают коммутацию, а фигурные — антикоммутацию. Эти соотношения отражают основные свойства квантовых частиц — возможность или невозможность одновременного нахождения в одном квантовом состоянии.

Фоковское пространство состояний

Фоковское пространство — это гильбертово пространство, в котором базисными векторами являются состояния с разным числом частиц. Начальное состояние — вакуум |0⟩, в котором нет ни одной частицы. На его основе с помощью операторов рождения формируются все остальные состояния:

$$ |1_{\mathbf{k}}\rangle = \hat{a}_{\mathbf{k}}^\dagger |0\rangle,\quad |2_{\mathbf{k}}\rangle = \frac{1}{\sqrt{2!}} (\hat{a}_{\mathbf{k}}^\dagger)^2 |0\rangle,\quad \text{и т.д.} $$

Операторы â_k^† и â_k рождают и уничтожают кванты с определённым импульсом k.

Вторичное квантование свободных частиц

Однородное бозонное поле

Рассмотрим систему невзаимодействующих бозонов. Гамильтониан в представлении вторичного квантования имеет вид:

$$ \hat{H} = \int d^3 r\, \hat{\psi}^\dagger(\mathbf{r}) \left( -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \right) \hat{\psi}(\mathbf{r}) $$

Подставляя разложение поля по плоским волнам:

$$ \hat{\psi}(\mathbf{r}) = \frac{1}{\sqrt{V}} \sum_{\mathbf{k}} \hat{a}_{\mathbf{k}} e^{i\mathbf{k} \cdot \mathbf{r}}, \quad \hat{\psi}^\dagger(\mathbf{r}) = \frac{1}{\sqrt{V}} \sum_{\mathbf{k}} \hat{a}^\dagger_{\mathbf{k}} e^{-i\mathbf{k} \cdot \mathbf{r}} $$

получаем:

$$ \hat{H} = \sum_{\mathbf{k}} \varepsilon_{\mathbf{k}}\, \hat{a}^\dagger_{\mathbf{k}} \hat{a}_{\mathbf{k}}, \quad \varepsilon_{\mathbf{k}} = \frac{\hbar^2 \mathbf{k}^2}{2m} $$

Этот результат совпадает с суммой энергий свободных частиц с импульсами k.

Взаимодействие и вторичное квантование

В случае взаимодействующих систем гамильтониан усложняется. Например, для ферми-газов с кулоновским отталкиванием:

$$ \hat{H} = \sum_{\mathbf{k}} \varepsilon_{\mathbf{k}}\, \hat{c}^\dagger_{\mathbf{k}} \hat{c}_{\mathbf{k}} + \frac{1}{2V} \sum_{\mathbf{q} \neq 0} \sum_{\mathbf{k}, \mathbf{k}'} V(\mathbf{q})\, \hat{c}^\dagger_{\mathbf{k} + \mathbf{q}} \hat{c}^\dagger_{\mathbf{k}' - \mathbf{q}} \hat{c}_{\mathbf{k}'} \hat{c}_{\mathbf{k}} $$

Здесь V(q) — преобразование Фурье кулоновского потенциала.

При вторичном квантовании такие выражения позволяют компактно записывать взаимодействие между многими частицами, используя операторы рождения и уничтожения.

Уравнения движения и лагранжианы в формализме полей

Операторы поля подчиняются уравнениям Гейзенберга:

$$ i\hbar \frac{\partial \hat{\psi}(\mathbf{r}, t)}{\partial t} = [\hat{\psi}(\mathbf{r}, t), \hat{H}] $$

Для свободного бозонного поля это приводит к уравнению Шрёдингера, для фермионного — к уравнению Дирака (при соответствующей гамильтонианной структуре).

В лагранжевом подходе формализм вторичного квантования применяется также через путь интегрирования по траекториям — функциональные интегралы, где поля выступают переменными интегрирования.

Полевая интерпретация частиц

Во вторичном квантовании частицы теряют индивидуальность как точечные объекты. Они воспринимаются как кванты колебаний поля. Так, электрон — это квант электронного поля, фотон — квант электромагнитного поля. Такой подход фундаментален для квантовой теории поля, в которой взаимодействия частиц трактуются как обмен квантом поля.

Учет спина и многокомпонентные поля

Для описания частиц с внутренними степенями свободы, например, спином, используются многокомпонентные поля:

Для фермионов со спином $\frac{1}{2}$ — спинорные поля: ψ̂_α(r, t), где α = 1, 2 (две компоненты спинора Паули).
Для бозонов со спином 1 — векторные поля: Â_i(r, t), где i = x, y, z.

Коммутационные свойства и структура Гамильтониана соответствующим образом усложняются.

Представление в импульсном пространстве

Вторичное квантование часто формулируется в импульсном пространстве, особенно при наличии симметрии пространства (например, в кристаллических решётках). Операторы â_k и â_k^† являются базовыми строительными блоками теории возбуждений:

В твердотельной физике: фононы, магноны, плазмоны.
В высокоэнергетической физике: глюоны, мезоны, бозоны Хиггса.

Преимущества формализма

Формализм вторичного квантования позволяет:

Естественно описывать системы с переменным числом частиц.
Формализовать переход к термодинамическому пределу.
Использовать диаграммные методы (например, диаграммы Фейнмана).
Проводить регуляризацию и перенормировку квантовых теорий.
Упрощать симметрии и законы сохранения (заряда, импульса, энергии).

Особую роль метод играет в разработке стандартной модели элементарных частиц, квантовой электродинамики, физики конденсированного состояния, сверхтекучести и сверхпроводимости.