Квазикристаллическая структура зон в твердых телах
Рассмотрим движение электрона в кристалле, представляющем собой периодическую совокупность атомов. Потенциальная энергия V(r⃗) периодична с трансляцией решётки:
V(r⃗ + R⃗) = V(r⃗),
где R⃗ — вектор трансляции решётки. Такое поведение потенциала приводит к специфическим особенностям волновых функций электронов, описываемых теоремой Блоха.
Решения уравнения Шрёдингера в периодическом потенциале имеют вид:
ψk⃗(r⃗) = eik⃗ ⋅ r⃗uk⃗(r⃗),
где uk⃗(r⃗) — функция с той же периодичностью, что и потенциал:
uk⃗(r⃗ + R⃗) = uk⃗(r⃗).
Параметр k⃗ называется квазиимпульсом и играет центральную роль в описании электронных состояний в кристалле. Таким образом, собственные состояния электрона в кристалле представляют собой бегущие волны, модулированные периодическими функциями.
В периодическом потенциале уровни энергии электрона не являются дискретными, как в атоме, а формируют полосы энергии, называемые зонами. Между этими зонами могут существовать запрещённые зоны — интервалы энергии, в которых не существует допустимых стационарных состояний электрона.
Эти особенности обусловлены интерференцией волновых функций в периодической решётке и соответствуют разветвлению уровней энергии при взаимодействии электронов с периодическим потенциалом.
В приближении почти свободных электронов предполагается, что электрон движется по кристаллу, испытывая лишь слабое воздействие со стороны решётки. Уравнение Шрёдингера для такого электрона записывается как:
$$ \left[ \frac{\hat{p}^2}{2m} + V(\vec{r}) \right] \psi(\vec{r}) = E \psi(\vec{r}). $$
Поскольку потенциал слаб, его можно разложить в ряд Фурье по векторам обратной решётки G⃗:
V(r⃗) = ∑G⃗VG⃗eiG⃗ ⋅ r⃗.
Резонансные условия возникают, когда k⃗ и k⃗ + G⃗ соответствуют одинаковой энергии свободного электрона:
$$ \frac{\hbar^2 k^2}{2m} = \frac{\hbar^2 (\vec{k} + \vec{G})^2}{2m}. $$
В таких точках возникает разрыв зон — энергетический разрыв, обусловленный Bragg-отражением волн.
Пространство квазиимпульсов разбивается на элементарные ячейки, называемые зонами Бриллюэна. Первая зона Бриллюэна — область в пространстве k⃗, ближайшая к началу координат. В ней содержатся все уникальные (неэквивалентные) значения квазиимпульса, достаточные для описания всего спектра.
Квазимомент k⃗, лежащий за пределами первой зоны, можно привести в неё с помощью вектора обратной решётки. Это отражает периодичность энергетического спектра в k⃗-пространстве.
Важнейшее следствие зонной теории — различие между проводниками, полупроводниками и диэлектриками, обусловленное заполненностью энергетических зон:
Таким образом, зонная структура определяет электрические свойства вещества.
Из-за кривизны энергетической зависимости E(k⃗) вблизи минимума или максимума зоны можно ввести понятие эффективной массы:
$$ \frac{1}{m^*} = \frac{1}{\hbar^2} \frac{d^2 E}{dk^2}. $$
Эффективная масса может существенно отличаться от массы свободного электрона и может быть даже отрицательной, например, для дырок в максимуме валентной зоны. Эффективная масса участвует в уравнении движения электронов в электрических и магнитных полях в кристалле и является важным параметром в расчетах транспортных свойств.
Зонная структура существенно зависит от пространственной симметрии кристаллической решётки. При высокой симметрии возможны вырождения энергетических уровней, а также особенности в виде зонных перекрытий или точек Дирака (в графене и других материалах с необычной топологией).
В теории групп используется анализ симметрий для классификации возможных форм энергетического спектра и описания переходов между уровнями, включая разрешённые и запрещённые оптические переходы.
Реальные кристаллы содержат примеси, которые создают дополнительные энергетические уровни внутри запрещённой зоны. Примеси делятся на донорные и акцепторные:
Эти уровни изменяют электронную плотность и проводят к появлению n- и p-типов полупроводников. Это фундаментально важно для работы диодов, транзисторов и других электронных устройств.
В искусственно созданных структурах, таких как сверхрешётки, периодичность потенциала задаётся на большом масштабе, что приводит к дроблению зон на мини-зоны, с узкими ширинами и малыми энергиями перехода. Электроны могут туннелировать между слоями, и такая структура демонстрирует квантовые эффекты даже при умеренных температурах.
Современная физика твёрдого тела уделяет особое внимание топологическим инвариантам зонной структуры — таким, как число Черна. Они не зависят от локальной формы спектра, но определяют топологические фазы вещества, включая:
Появление робастных краевых состояний, не чувствительных к дефектам, является следствием топологической природы зон.
Поглощение и испускание фотонов в твёрдом теле связано с переходами между различными зонами. Оптические свойства вещества определяются не только шириной запрещённой зоны, но и характером зон (прямой или непрямой переход):
Эти особенности критичны при выборе материала для светодиодов и лазеров.
Современная зонная теория активно использует численные методы:
Эти методы позволяют получать точные энергетические диаграммы для реальных кристаллов с учетом сложной симметрии и взаимодействий, включая спин-орбитальное расщепление и корреляции.