Современное понимание термодинамики в рамках релятивистской физики требует переформулировки классических понятий в терминах четырёхмерного пространства-времени Минковского. В такой формулировке все физические величины должны быть инвариантны или ковариантны относительно преобразований Лоренца. Это означает, что привычные скалярные и векторные величины, такие как энергия, поток, температура, энтропия и импульс, получают более строгие определения в виде четырёхвекторов и тензоров.
Температура в релятивистской термодинамике представляется не скаляром, а компонентой четырёхвектора, сопряжённого с четырёхскоростью. Аналогично, поток энергии и импульса выражается через тензор энергии-импульса $T^{\mu\nu}$, а поток энтропии — через четырёхвектор энтропии $S^\mu$. Эти объекты подчиняются законам сохранения, выражаемым в виде дифференциальных уравнений в пространстве Минковского.
Центральным объектом в релятивистской формулировке является тензор энергии-импульса $T^{\mu\nu}$, симметричный тензор второго ранга, содержащий полную информацию об энергетическом содержании и потоках импульса в среде. Его компоненты:
Для идеальной жидкости тензор энергии-импульса принимает форму:
$$ T^{\mu\nu} = (\varepsilon + p) u^\mu u^\nu - p \eta^{\mu\nu}, $$
где:
Закон сохранения энергии и импульса выражается как:
$$ \partial_\mu T^{\mu\nu} = 0. $$
Это уравнение объединяет уравнение непрерывности энергии и закон сохранения импульса в едином релятивистском виде.
В классической термодинамике второе начало формулируется через неотрицательность производства энтропии. В релятивистской теории вводится четырёхвектор плотности энтропии $S^\mu$, для которого выполняется:
$$ \partial_\mu S^\mu \geq 0. $$
В случае локального термодинамического равновесия $S^\mu$ выражается как:
$$ S^\mu = s u^\mu, $$
где $s$ — плотность энтропии в системе отсчёта, сопряжённой с потоком вещества.
Если присутствуют необратимые процессы, такие как теплопроводность, вязкость, диффузия, то $S^\mu$ включает поправки, связанные с потоками этих величин, и дивергенция $\partial_\mu S^\mu$ становится строго положительной, описывая производство энтропии.
Релятивистская температура не является просто скаляром. Для обеспечения лоренц-инвариантности вводится термический четырёхвектор $\beta^\mu$, связанный с инверсной температурой:
$$ \beta^\mu = \frac{u^\mu}{T}, $$
где $T$ — температура в системе, движущейся с четырёхскоростью $u^\mu$.
Этот подход позволяет корректно определить тепловые потоки и энтропийные токи в релятивистских системах. Он также обеспечивает основу для вывода релятивистского распределения Гиббса-Жюитта.
В неравновесной релятивистской термодинамике для описания диссипативных процессов используют обобщённые уравнения Навье–Стокса, адаптированные к четырёхмерному формализму. Расширенный тензор энергии-импульса с учётом вязкости и теплопроводности принимает вид:
$$ T^{\mu\nu} = (\varepsilon + p) u^\mu u^\nu - p \eta^{\mu\nu} + \pi^{\mu\nu} + q^\mu u^\nu + q^\nu u^\mu, $$
где:
Векторный поток вещества описывается четырёхвектором $N^\mu = n u^\mu + j^\mu$, где $j^\mu$ — диффузионный ток, также ортогональный к $u^\mu$.
Уравнения сохранения принимают форму:
$$ \partial\mu T^{\mu\nu} = 0,\quad \partial\mu N^\mu = 0,\quad \partial_\mu S^\mu \geq 0. $$
Эти три уравнения описывают эволюцию релятивистской термодинамической системы с учётом переноса массы, энергии, импульса и энтропии.
Важнейшее допущение релятивистской термодинамики — локальное термодинамическое равновесие, согласно которому в каждой малой области пространства-времени система может быть описана равновесными параметрами: температурой, химическим потенциалом, плотностью энергии и импульсом. Это допущение позволяет использовать распределение Больцмана-Жюитта и выводить уравнения состояния.
Однако в релятивистских системах с большими градиентами (например, в физике высоких энергий, в космологии или в плазмах) это приближение может нарушаться. Тогда требуется вводить дополнительные степени свободы, описывающие отклонения от равновесия, такие как поля напряжения или флуктуационные компоненты.
Четырёхмерная формулировка термодинамики успешно применяется в релятивистской гидродинамике, описании космологических моделей, эволюции материи в ранней Вселенной, а также в моделировании тяжёлых ионов в столкновениях на ускорителях (например, в экспериментах ALICE на Большом адронном коллайдере). В этих задачах используются системы уравнений, основанные на тензоре энергии-импульса, четырёхвекторах плотностей и уравнениях состояния, полученных из квантовой статистической физики.
Релятивистская термодинамика также тесно связана с квантовой теорией поля при конечных температурах, где возникает необходимость учитывать вакуумные поправки, релятивистские эффекты и влияние гравитационного поля, что приводит к построению термодинамики в изогнутом пространстве-времени.
Особый интерес представляет обобщение термодинамики на случай обобщённой геометрии пространства-времени в общей теории относительности. В такой постановке:
Эффекты вроде эффекта Унру и энтропии горизонта в теории Хокинга–Бекенштейна показывают, что термодинамика в релятивистской и гравитационной формах приобретает фундаментальный характер, объединяя понятия информации, гравитации и статистики. Это становится особенно важным в контексте черных дыр, где термодинамика проявляется через тензор энергии-импульса вакуума и квантовое излучение.