Изохорические процессы

Изохорические процессы в термодинамике

Определение изохорического процесса

Изохорическим называется термодинамический процесс, протекающий при постоянном объёме системы. Это означает, что объём $V$ не изменяется на протяжении всего процесса:

$$ \Delta V = 0 $$

Поскольку объём постоянен, то в изохорическом процессе отсутствует работа расширения или сжатия, так как работа газа определяется выражением:

$$ A = \int_{V_1}^{V_2} P\, dV $$

При $V_2 = V_1$, получаем $A = 0$. Это ключевая особенность изохорических процессов: вся энергия, подведённая к системе, идёт на изменение её внутренней энергии.

Первый закон термодинамики для изохорического процесса

Первый закон термодинамики имеет вид:

$$ \Delta U = Q - A $$

Так как $A = 0$, то в изохорическом процессе:

$$ \Delta U = Q $$

Таким образом, тепло, подведённое к системе (или отведённое от неё), полностью превращается в изменение внутренней энергии. Это делает изохорический процесс особенно важным при исследовании тепловых свойств веществ, так как позволяет напрямую изучать зависимость внутренней энергии от температуры.

Уравнение состояния и давление

При постоянном объёме изменение состояния идеального газа описывается уравнением:

$$ P = \frac{nRT}{V} $$

или в дифференциальной форме:

$$ \frac{P}{T} = \text{const} \quad \text{(при постоянном объёме)} $$

Это выражение указывает, что при изохорическом процессе давление линейно зависит от температуры: при нагревании давление растёт, при охлаждении — падает.

Графически изохорический процесс изображается на диаграмме $P$-$T$ как прямая линия, проходящая через начало координат, а на диаграмме $P$-$V$ — как вертикальная линия.

Изохорная теплоёмкость

Важной термодинамической характеристикой является теплоёмкость при постоянном объёме:

$$ C_V = \left( \frac{\partial Q}{\partial T} \right)_V = \left( \frac{\partial U}{\partial T} \right)_V $$

Для одноатомного идеального газа:

$$ C_V = \frac{3}{2}nR $$

Для двухатомных и многоатомных газов значение $C_V$ выше, поскольку учитываются дополнительные степени свободы (вращательные, колебательные).

Пример: нагрев одноатомного газа в изохорическом процессе

Рассмотрим 1 моль одноатомного идеального газа, нагретого при постоянном объёме от температуры $T_1$ до $T_2$. Тогда количество теплоты, подведённое к газу:

$$ Q = \Delta U = C_V (T_2 - T_1) = \frac{3}{2} R (T_2 - T_1) $$

При этом давление увеличивается в той же пропорции, что и температура:

$$ \frac{P_2}{P_1} = \frac{T_2}{T_1} $$

Применение изохорических процессов

Изохорические процессы встречаются в реальных технических системах и приборах. Наиболее известный пример — нагрев или охлаждение газа в замкнутом жёстком сосуде, например, в металлическом баллоне, где объём остаётся неизменным.

Другой важный пример — изохорические участки в циклах тепловых машин, в частности, в цикле Отто (идеализированная модель работы бензинового двигателя внутреннего сгорания), где подвод тепла происходит при постоянном объёме:

сжатие и воспламенение топливной смеси вызывает резкий рост температуры и давления при неизменном объёме камеры сгорания.

Анализ графиков и дифференциальные зависимости

На термодинамической диаграмме $P$-$T$, изохорический процесс отображается как прямая с положительным наклоном, проходящая через начало координат (для идеального газа). Производная давления по температуре при постоянном объёме:

$$ \left( \frac{\partial P}{\partial T} \right)_V = \frac{nR}{V} $$

Эта величина остаётся постоянной для данной массы и объёма газа и определяет, насколько сильно давление изменяется при изменении температуры.

Изохорические процессы в реальных газах

Реальные газы при высоких давлениях и низких температурах отклоняются от идеального поведения. Однако при достаточно разреженных состояниях поведение близко к идеальному. В таких условиях для практических расчётов можно использовать поправки, например, через уравнение Ван-дер-Ваальса, учитывающее конечный объём молекул и силы межмолекулярного взаимодействия:

$$ \left( P + \frac{a}{V^2} \right)(V - b) = nRT $$

Даже при $\Delta V = 0$, в этом случае изменения давления и внутренней энергии могут быть скорректированы, особенно при сильных отклонениях от идеального газа.

Работа в изохорическом процессе

Как уже отмечалось, работа внешним силам не совершается:

$$ A = 0 $$

Тем не менее, изменение давления может оказывать механическое воздействие на стенки сосуда, что важно учитывать в инженерных расчётах на прочность.

Связь с другими процессами и циклами

Изохорический процесс тесно связан с другими простыми термодинамическими процессами:

В изотермическом процессе при постоянной температуре может происходить изменение объёма и давления, но не внутренней энергии.
В адиабатическом процессе отсутствует теплообмен, и работа влияет на изменение внутренней энергии.
В изобарическом процессе при постоянном давлении изменение объёма приводит к теплопередаче и изменению внутренней энергии.

Комбинация изохорического и других процессов составляет основу циклов Карно, Отто, Дизеля и других термодинамических циклов.

Вывод формул и анализ

Рассмотрим ещё раз внутреннюю энергию идеального газа:

$$ U = \frac{i}{2}nRT $$

где $i$ — число степеней свободы молекул. При изохорическом процессе:

$$ \Delta U = \frac{i}{2}nR \Delta T $$

Таким образом, тепло, подведённое к системе:

$$ Q = \frac{i}{2}nR (T_2 - T_1) $$

А если использовать массовую форму выражения:

$$ Q = m c_V \Delta T $$

где $c_V$ — удельная теплоёмкость при постоянном объёме, $m$ — масса газа.

Обобщённое описание

Изохорические процессы — это идеализированные, но широко применимые модели, позволяющие удобно анализировать тепловые явления в системах с фиксированным объёмом. Они служат основой для практических расчётов в теплотехнике, газодинамике, и физике высоких температур.