Определение и общие свойства
Изотермическим называется термодинамический процесс, происходящий при постоянной температуре системы:
$$ T = \text{const}. $$
Такой процесс возможен только при наличии теплового контакта с внешней средой, обладающей большой теплоёмкостью (термостат), поскольку при изменении состояния система должна либо получать, либо отдавать тепло, чтобы температура оставалась неизменной.
Для идеального газа изотермический процесс подчиняется уравнению состояния Клапейрона — Менделеева:
$$ pV = nRT, $$
где $n$ — количество вещества, $R$ — универсальная газовая постоянная, $T$ — абсолютная температура. При $T = \text{const}$ это уравнение принимает форму:
$$ pV = \text{const}. $$
Данная зависимость называется закон Бойля — Мариотта. Графиком изотермического процесса в координатах $p(V)$ является гипербола.
Внутренняя энергия в изотермическом процессе
Внутренняя энергия идеального одноатомного газа зависит исключительно от температуры:
$$ U = \frac{3}{2}nRT. $$
Поскольку температура не изменяется, внутренняя энергия остается постоянной:
$$ \Delta U = 0. $$
Следовательно, в изотермическом процессе вся энергия, сообщённая системе в виде теплоты, идёт на совершение работы против внешнего давления:
$$ Q = A. $$
Работа в изотермическом процессе
Работа, совершаемая газом при изменении объема от $V_1$ до $V_2$ при постоянной температуре, вычисляется как:
$$ A = \int_{V_1}^{V2} p \, dV = \int{V_1}^{V_2} \frac{nRT}{V} \, dV = nRT \ln\left( \frac{V_2}{V_1} \right). $$
Если $V_2 > V_1$, работа положительна, и газ расширяется, совершая работу над внешней средой. Если $V_2 < V_1$, работа отрицательна — над газом совершается работа при его сжатии.
Важно, что эта формула справедлива только для квазистатического (равновесного) изотермического процесса, в котором система всё время находится в термодинамическом равновесии и давление в любой момент времени точно соответствует состоянию газа.
Теплота в изотермическом процессе
Поскольку изменение внутренней энергии равно нулю ($\Delta U = 0$), согласно первому закону термодинамики:
$$ Q = \Delta U + A = A, $$
теплота, подведённая к газу, целиком превращается в механическую работу газа.
Таким образом, для изотермического процесса:
$$ Q = nRT \ln\left( \frac{V_2}{V_1} \right). $$
Количество теплоты, необходимое для расширения газа, зависит не только от температуры, но и от кратности изменения объема.
Графическое представление процесса
Сравнение с другими процессами
Таким образом, изотермический процесс — единственный среди простейших процессов, в котором при постоянной температуре возможно преобразование теплоты целиком в работу. Однако это преобразование возможно только при тепловом контакте с источником и при очень медленном (квазистатическом) изменении параметров.
Примеры и применение
Обратимость процесса
Изотермический процесс может быть обратимым, если он совершается квазистатически, т.е. бесконечно медленно и без необратимых потерь (например, трения). В этом случае он является важным идеализированным элементом термодинамических циклов, в частности, цикла Карно.
Если же процесс идёт быстро (например, при резком снятии нагрузки с поршня), температура не успевает выровняться, и происходит адиабатическое расширение с уменьшением температуры. Поэтому изотермический процесс возможен лишь при достаточном времени теплового взаимодействия с термостатом.
Изотермическая сжимаемость и термодинамические потенциалы
Изотермическая сжимаемость характеризует относительное изменение объема при изменении давления при постоянной температуре:
$$ \kappa_T = -\frac{1}{V}\left( \frac{\partial V}{\partial p} \right)_T. $$
Для идеального газа:
$$ \kappa_T = \frac{1}{p}. $$
Также в изотермическом процессе важную роль играет энергия Гиббса:
$$ G = U + pV - TS. $$
Поскольку $T$ постоянна, анализ изменения энергии Гиббса может использоваться для изучения равновесия и самопроизвольности процессов.
Переход к реальным газам
Для реальных газов поведение при изотермическом процессе может существенно отличаться от идеализированной гиперболы. При давлениях, близких к критическому, изотерма может иметь участок фазового перехода (например, конденсации пара в жидкость), где давление остаётся постоянным при изменении объема. В этом случае работа и теплота определяются как:
$$ A = p(V_2 - V_1), \quad Q = A, $$
но структура процесса сложнее и требует рассмотрения двухфазной системы и скрытой теплоты фазового перехода.
Выводы из уравнения состояния
Уравнение изотермы:
$$ p = \frac{nRT}{V} $$
означает, что давление стремится к бесконечности при $V \to 0$, и к нулю при $V \to \infty$. Это указывает на невозможность полного сжатия идеального газа до нуля объема в изотермическом режиме и на бесконечную работу, необходимую для этого.
Следовательно, изотермический процесс в идеальном газе может продолжаться сколь угодно долго в сторону увеличения объема, но его границы определяются практическими условиями: конечными размерами сосуда, наличием теплопередачи и временем.
Формулы для запоминания
$$ pV = \text{const} $$
$$ A = nRT \ln \left( \frac{V_2}{V_1} \right) $$
$$ Q = A $$
$$ \Delta U = 0 $$
Эти соотношения позволяют полностью описать поведение идеального газа при изотермическом процессе и применяются в многочисленных физических и инженерных задачах.