В статистической физике распределения Бозе–Эйнштейна и Ферми–Дирака описывают поведение систем, состоящих из неразличимых частиц, подчиняющихся квантовым законам. Бозе-частицы могут находиться в одном и том же квантовом состоянии в неограниченном числе (например, фотоны или бозоны в гелии-4), тогда как фермионы (например, электроны, нейтроны) подчиняются принципу Паули — не более одной частицы на квантовое состояние. Напротив, в классической статистике Максвелла–Больцмана предполагается, что частицы различимы и не накладываются ограничения на их размещение по состояниям.
Переход от квантовой к классической статистике реализуется в классическом пределе, который проявляется при высоких температурах и низкой концентрации частиц, когда квантовые эффекты становятся пренебрежимо малы. Это соответствует ситуации, при которой среднее расстояние между частицами значительно превышает их термическую длину волны де Бройля.
Термическая длина волны де Бройля определяется как:
$$ \lambda_{\text{th}} = \sqrt{\frac{2\pi \hbar^2}{mkT}} $$
где:
Если плотность частиц $n = N/V$ такова, что выполняется неравенство $n \lambda_{\text{th}}^3 \ll 1$, то система находится в классическом пределе: перекрытие волновых функций становится незначительным, и квантовая природа частиц теряет роль.
Запишем общую формулу среднего числа частиц в состоянии с энергией $\varepsilon_i$ для квантовых распределений:
$$ \langle n_i \rangle = \frac{1}{e^{(\varepsilon_i - \mu)/kT} \pm 1} $$
В классическом пределе $e^{(\varepsilon_i - \mu)/kT} \gg 1$, и тогда можно воспользоваться приближением:
$$ \langle n_i \rangle \approx \frac{1}{e^{(\varepsilon_i - \mu)/kT} \pm 1} \approx e^{-(\varepsilon_i - \mu)/kT} $$
Это приближение приводит нас к распределению Максвелла–Больцмана:
$$ \langle n_i \rangle = e^{-(\varepsilon_i - \mu)/kT} $$
Таким образом, классическая статистика является предельным случаем квантовой, когда квантовые поправки теряют значение.
Особое внимание необходимо уделить химическому потенциалу. В классической статистике он всегда отрицателен. При $T \to \infty$ химический потенциал стремится к $-\infty$, обеспечивая экспоненциально малую вероятность заселения каждого квантового состояния, что соответствует редкой системе.
В квантовой статистике $\mu$ ограничен сверху (для фермионов) или снизу (для бозонов). При переходе к классическому пределу химический потенциал смещается в сторону отрицательных значений, и разность $\varepsilon - \mu$ становится достаточно большой, чтобы $e^{(\varepsilon - \mu)/kT} \gg 1$.
Для систем с непрерывным спектром важно учитывать плотность состояний $g(\varepsilon)$. В классическом пределе используется интегральная форма статистических сумм:
$$ \langle N \rangle = \int_0^\infty g(\varepsilon) e^{-(\varepsilon - \mu)/kT} \, d\varepsilon $$
В квантовом случае подынтегральная функция имеет вид:
$$ \langle N \rangle = \int_0^\infty \frac{g(\varepsilon)}{e^{(\varepsilon - \mu)/kT} \pm 1} \, d\varepsilon $$
Переход к классическому пределу приводит к замене знаменателя на экспоненту и устранению квантовых эффектов заселения состояний.
1. Идеальный газ бозонов. При высоких температурах $T \gg T_c$ (где $T_c$ — критическая температура бозе-конденсации), распределение Бозе–Эйнштейна стремится к распределению Максвелла–Больцмана. Наблюдается выравнивание населения по состояниям без накопления в основном состоянии.
2. Идеальный газ фермионов. При $T \gg T_F$ (где $T_F$ — температура Ферми), резкое заполнение уровней до энергии Ферми исчезает. Распределение становится гладким, и занятость уровней убывает экспоненциально с увеличением энергии, аналогично классическому случаю.
3. Радиационное поле (фотоны). При $\hbar\omega \gg kT$ число фотонов в моде с частотой $\omega$ экспоненциально мало. Формула Планка для энергии излучения сводится к закону Вина, представляющему собой классический предел.
В классической теории распределение по импульсам в трехмерном пространстве имеет вид:
$$ f(\vec{p}) \propto e^{-\frac{p^2}{2mkT}} $$
Квантовые распределения в пределе $p^2 / 2m \gg \mu$ также переходят в эту форму. Это подчеркивает единство описания в области высоких температур или малых плотностей, когда квантовая статистика плавно переходит в классическую.
Классический предел применим, когда выполняется:
$$ n \lambda_{\text{th}}^3 \ll 1 $$
Физически это означает, что среднее число частиц в кубе с длиной стороны $\lambda_{\text{th}}$ (то есть в объеме, характерном для квантового перекрытия) много меньше единицы. Это условие также может быть выражено через параметр вырожденности:
Классическое распределение Максвелла–Больцмана можно рассматривать как нулевой порядок по разложению квантовых распределений в ряды по малому параметру $n \lambda_{\text{th}}^3$. Следующий порядок даёт поправки, учитывающие квантовые корреляции.
В частности, расширения среднего числа частиц можно записать в форме:
Для фермионов:
$$ \langle n_i \rangle = e^{-(\varepsilon_i - \mu)/kT} - e^{-2(\varepsilon_i - \mu)/kT} + \dots $$
Для бозонов:
$$ \langle n_i \rangle = e^{-(\varepsilon_i - \mu)/kT} + e^{-2(\varepsilon_i - \mu)/kT} + \dots $$
Различие в знаке второй экспоненты отражает фундаментальное различие в статистических корреляциях между бозонами (притяжение) и фермионами (отталкивание).
Классический предел квантовых распределений — важный концептуальный мост между классической и квантовой статистической физикой. Он не только подтверждает непротиворечивость квантовой теории в предельных случаях, но и устанавливает границы применимости различных статистических моделей. В этом пределе восстанавливаются все классические термодинамические результаты, включая уравнение состояния идеального газа, распределение Максвелла по скоростям и энергетическое распределение частиц.