В контексте космологии основой для термодинамического анализа служит метрика Фридмана–Леметра–Робертсона–Уокера (FLRW), описывающая однородную и изотропную Вселенную. Метрика имеет вид:
$$ ds^2 = -c^2 dt^2 + a^2(t)\left[\frac{dr^2}{1 - k r^2} + r^2(d\theta^2 + \sin^2\theta\, d\phi^2)\right], $$
где $a(t)$ — масштабный фактор, $k = 0, \pm 1$ — параметр кривизны пространства.
Эта метрика позволяет формулировать законы термодинамики применительно к расширяющейся Вселенной и определить энергетические и энтропийные характеристики космологических горизонтов.
Первый закон термодинамики для космологической жидкости записывается как:
$$ d(\rho V) + p\,dV = 0, $$
где $\rho$ — плотность энергии, $p$ — давление, $V \propto a^3$ — объем характерного участка пространства. Это уравнение можно привести к форме:
$$ \dot{\rho} + 3H(\rho + p) = 0, $$
что является уравнением непрерывности в космологии. Здесь $H = \frac{\dot{a}}{a}$ — параметр Хаббла.
Это уравнение отражает закон сохранения энергии в расширяющейся Вселенной, связывая изменение плотности энергии с расширением и работой давления.
Космологическое применение второго начала термодинамики подразумевает, что суммарная энтропия замкнутой области не убывает со временем. Однако, в отличие от обычных термодинамических систем, в космологии объем постоянно изменяется, и горизонт событий играет ключевую роль.
Согласно обобщенному второму закону, для любой обособленной области, включающей горизонт, должно выполняться:
$$ \frac{d}{dt}(S{\text{вещества}} + S{\text{горизонта}}) \geq 0. $$
Энтропия горизонта аналогична энтропии черной дыры:
$$ S_{\text{горизонта}} = \frac{k_B A}{4 L_P^2}, $$
где $A$ — площадь горизонта, $L_P$ — планковская длина, $k_B$ — постоянная Больцмана.
Для космологических горизонтов, таких как горизонт Хаббла или горизонт будущих событий в де-Ситтеровской Вселенной, можно определить эффективную температуру, аналогичную температуре Хокинга для черных дыр:
$$ T = \frac{\hbar H}{2\pi k_B}, $$
что указывает на наличие ассоциированного теплового излучения, связанного с горизонтом.
Это открытие позволяет рассматривать горизонты как термодинамические объекты, способные обмениваться энергией и энтропией с остальной частью Вселенной.
Существует глубокая связь между термодинамикой и уравнениями Эйнштейна. В частности, Якобсон (1995) показал, что уравнение Эйнштейна можно получить из второго закона термодинамики, если потребовать, чтобы энтропия горизонта была пропорциональна его площади, а теплота $\delta Q$ удовлетворяла бы:
$$ \delta Q = T\,dS. $$
Из этого соотношения выводится одно из уравнений Фридмана:
$$ H^2 + \frac{k}{a^2} = \frac{8\pi G}{3}\rho. $$
Таким образом, фундаментальные уравнения космологии могут быть поняты как проявление глубинных термодинамических принципов.
На ранних этапах эволюции Вселенная рассматривалась как почти идеальный адиабатически расширяющийся флюид. Энтропия на единицу комовского объема оставалась постоянной:
$$ \frac{dS}{dt} = 0 \quad \text{при отсутствии неравновесных процессов}. $$
Энтропия в единице комовского объема выражается как:
$$ s = \frac{\rho + p}{T}, $$
и в эпоху излучения (где $p = \rho/3$) приводит к известному результату:
$$ s \propto T^3. $$
Учитывая, что $a \propto 1/T$, можно утверждать, что $s a^3 = \text{const}$, что подтверждает адиабатичность.
Современная Вселенная имеет чрезвычайно высокую энтропию, сосредоточенную в основном в черных дырах и горизонтах. Один из парадоксов — объяснение того, почему начальное состояние Вселенной имело столь низкую энтропию.
Оценки показывают, что энтропия текущей наблюдаемой Вселенной:
$$ S \sim 10^{104} \, k_B, $$
из которых подавляющее большинство (более 99%) приходится на сверхмассивные черные дыры в центрах галактик.
Проблема заключается в том, что гравитационные системы естественным образом эволюционируют в состояния с более высокой энтропией, и следует объяснить, почему начальная Вселенная была так далека от гравитационного равновесия.
Во время инфляции Вселенная находилась в состоянии, близком к вакуумному, с практически постоянной плотностью энергии $\rho = \text{const}$, и отрицательным давлением $p = -\rho$. Это состояние соответствует максимальной степени изотропии и однородности, но не максимальной энтропии. После инфляции происходит reheating — переход энергии инфлатона в обычные частицы, что резко увеличивает энтропию:
$$ \Delta S \gg 1. $$
Процесс перезаполнения вещества и перехода к горячей фазе — ключевой термодинамический этап, определяющий тепловую историю Вселенной.
Переходы между различными фазами вещества во Вселенной, такие как кварк-глюонная плазма → адроны, лептогенез и рекомбинация, сопровождаются важными термодинамическими эффектами. Например:
Общий тренд — рост удельной энтропии с течением времени, несмотря на падение температуры.
Понятие энтропии в гравитационной системе не ограничивается термодинамикой вещества. Принцип холографии утверждает, что максимальная энтропия области пространства не превышает четверти площади её границы в планковских единицах:
$$ S \leq \frac{k_B A}{4 L_P^2}. $$
Это ограничение на плотность информации, которую может содержать регион, фундаментально для космологической термодинамики. Оно связано с конечной числовой ёмкостью описания физических систем в конечной области пространства-времени.
В космологических моделях на поздней стадии (де-Ситтер) этот предел достигается горизонтом событий, определяющим максимально возможную энтропию Вселенной.
По мере ускоренного расширения Вселенной, все наблюдаемые объекты постепенно уходят за горизонт событий. Будущая Вселенная приближается к асимптотически де-Ситтеровскому состоянию с постоянной температурой и конечной энтропией.
Этот финальный этап соответствует предельному равновесию, в котором все доступные процессы исчерпали возможность производить работу, и вся динамика замедляется до теплового покоя. В этой связи космологическая термодинамика связывает начальное состояние низкой энтропии с её колоссальным возрастанием к будущему состоянию, при этом подчиняясь обобщённому второму закону термодинамики.