Коэффициент полезного действия тепловых машин и теорема Карно
Тепловая машина — это устройство, преобразующее часть тепловой энергии, получаемой от нагревателя, в механическую работу. Однако полное превращение теплоты в работу невозможно: некоторая часть тепла всегда передаётся холодильнику. Эффективность такого преобразования характеризуется коэффициентом полезного действия (КПД).
Коэффициент полезного действия тепловой машины определяется отношением совершённой машиной работы к количеству теплоты, полученной от нагревателя:
$$ \eta = \frac{A}{Q_1} $$
где $A$ — полезная работа, совершаемая машиной за цикл, $Q_1$ — количество теплоты, полученное от нагревателя за тот же цикл.
Используя первый закон термодинамики $Q_1 = A + Q_2$, где $Q_2$ — теплота, отданная холодильнику, КПД можно выразить так:
$$ \eta = 1 - \frac{Q_2}{Q_1} $$
Таким образом, максимальный КПД возможен лишь при $Q_2 = 0$, то есть при полном превращении теплоты в работу, что противоречит второму началу термодинамики. Это означает, что КПД любой реальной тепловой машины всегда меньше единицы.
Для теоретического анализа эффективности тепловых машин важно рассматривать идеальные тепловые машины, работающие по обратимым процессам, в частности — по циклу Карно.
Цикл Карно состоит из четырёх обратимых процессов с идеальным газом в качестве рабочего тела:
В этом цикле все процессы являются обратимыми, и цикл замкнут: начальное и конечное состояния газа совпадают.
Теорема Карно формулируется следующим образом:
Никакая тепловая машина, работающая между двумя тепловыми резервуарами, не может иметь больший КПД, чем обратимая машина, работающая между теми же резервуарами.
Следствие: все обратимые машины, работающие между одними и теми же температурными пределами, имеют одинаковый КПД, зависящий только от температур резервуаров.
Таким образом, КПД идеальной машины Карно есть эталон, максимальный предел для всех возможных тепловых машин между двумя температурами. Его выражение:
$$ \eta_{\text{Карно}} = 1 - \frac{T_2}{T_1} $$
где $T_1$ — температура нагревателя, $T_2$ — температура холодильника, обе температуры выражены в абсолютной шкале (Кельвинах).
Из этого следует:
Теорема Карно имеет фундаментальное значение в термодинамике. Она устанавливает предельный уровень эффективности, к которому может стремиться разработка новых тепловых машин, турбин, двигателей внутреннего сгорания, холодильников и тепловых насосов.
Однако в реальных системах:
Следовательно, КПД реальной машины всегда ниже, чем у идеальной машины Карно, и проектирование тепловых машин стремится к приближению к этому пределу, но не может его превзойти.
Для оценки эффективности различных тепловых машин сравнивают их циклы с циклом Карно. Наиболее распространённые циклы:
Все эти циклы состоят из частично обратимых и частично необратимых процессов, их КПД ниже, чем у соответствующего цикла Карно между теми же температурными пределами.
К примеру, для цикла Отто КПД выражается как:
$$ \eta_{\text{Отто}} = 1 - \frac{1}{r^{\gamma - 1}} $$
где $r$ — степень сжатия, $\gamma$ — показатель адиабаты.
Хотя увеличением степени сжатия можно увеличить КПД, всё же он остаётся ниже, чем у идеальной обратимой машины.
Формула КПД Карно $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ обусловила создание абсолютной термодинамической температурной шкалы, в которой температура прямо соотносится с КПД идеальной тепловой машины. Это позволяет независимо от свойств рабочего тела строить термодинамическую шкалу, которая совпадает с кельвиновой шкалой в пределах экспериментальной точности.
Цикл Карно и соответствующая теорема были предложены Сади Карно в 1824 году в работе «Размышления о движущей силе огня». Эта работа положила основание термодинамике как самостоятельной дисциплине, предвосхитив многие положения второго начала термодинамики ещё до формулировки закона сохранения энергии.
Теорема Карно впервые чётко сформулировала принцип ограниченности преобразования тепла в работу, и показала невозможность создания "вечного двигателя второго рода" — устройства, которое полностью превращало бы теплоту в работу без потерь.
Таким образом, теорема Карно и понятие КПД являются краеугольными камнями всей теории тепловых машин и важнейшими элементами современной энергетики, машиностроения и инженерной термодинамики.