Квантовая теория поля (КТП) при конечной температуре — это расширение стандартной (нулетемпературной) КТП, которое позволяет описывать квантовые системы в термодинамическом равновесии. В отличие от обычной вакуумной теории, где полевая динамика изучается на фоне пустого пространства, термическая теория включает взаимодействие с тепловым фоном, что делает её особенно важной в космологии, физике ранней Вселенной, физике плазмы и ядерной материи.
Ключевым методом является переход от гамильтоновой формулировки к термодинамической, основанной на использовании матрицы плотности:
$$ \hat{\rho} = \frac{1}{Z} e^{-\beta \hat{H}}, \quad Z = \mathrm{Tr}(e^{-\beta \hat{H}}), $$
где $\beta = 1/T$ — обратная температура (в естественных единицах), $\hat{H}$ — гамильтониан системы, $Z$ — статистическая сумма (или функция распределения Гиббса). Все наблюдаемые величины вычисляются как тепловые средние:
$$ \langle \hat{\mathcal{O}} \rangle = \mathrm{Tr}(\hat{\rho} \hat{\mathcal{O}}). $$
Переход к описанию в терминах интеграла по траекториям (или функционального интеграла) требует продолжения времени в мнимую область: $t \to -i\tau$. Это приводит к евклидовой форме действия, и в результате интеграл по траекториям принимает вид:
$$ Z = \int \mathcal{D}\phi\, e^{-S_E[\phi]}, $$
где $S_E[\phi]$ — евклидово действие, интегрируемое по всем конфигурациям полей $\phi$, периодическим (для бозонов) или анти-периодическим (для фермионов) по мнимому времени $\tau \in [0, \beta]$.
Для фермионных и бозонных полей разложение по собственным модам даёт частоты Матсубары:
Это приводит к дискретизации временных компонентов импульса в диаграммных техниках, а все термодинамические величины получают температурную зависимость через сумму по Матсубарским частотам:
$$ \int \frac{d^4p}{(2\pi)^4} \to T \sum_{n} \int \frac{d^3\mathbf{p}}{(2\pi)^3}. $$
В рамках формализма Матсубары можно применять модифицированную диаграммную технику Фейнмана, в которой линии и вершины соответствуют тем же правилам, что и при $T=0$, но с поправкой на температурную дискретизацию и периодичность.
Пропагаторы полей приобретают зависимость от температуры:
$$ D(\omega_n, \mathbf{p}) = \frac{1}{\omega_n^2 + \mathbf{p}^2 + m^2}. $$
$$ S(\omega_n, \mathbf{p}) = \frac{-i\gamma^0\omega_n - i\gamma^i p_i + m}{\omega_n^2 + \mathbf{p}^2 + m^2}. $$
Использование этих пропагаторов позволяет вычислять температурные поправки к массам, взаимодействиям и самодействиям.
Альтернативой евклидову подходу является формализм реального времени, применяемый в задачах неравновесной термодинамики и квантовых флуктуаций. Он построен на так называемом контуре Швингера–Келдиша, где интегрирование проводится по сложному времени, проходящему сначала вдоль вещественной оси, затем возвращающемся обратно.
Этот подход позволяет описывать динамическую эволюцию плотности энергии, корреляторов и наблюдаемых величин в реальном времени, включая взаимодействие с тепловыми резервуарами и переходные процессы.
При $T \neq 0$ возникают существенные изменения в вакуумной структуре теории. Например, температурные поправки к эффективному потенциалу могут приводить к фазовым переходам, таким как переход Хиггса или переход кварк-глюонной плазмы в хромодинамике.
Для скалярного поля $\phi^4$ с лагранжианом:
$$ \mathcal{L} = \frac{1}{2}(\partial_\mu \phi)^2 - \frac{1}{2}m^2 \phi^2 - \frac{\lambda}{4!}\phi^4, $$
при высоких температурах эффективный потенциал $V_{\text{eff}}(\phi, T)$ приобретает температурную поправку вида:
$$ V_{\text{eff}}(\phi, T) = -\frac{1}{2}m^2(T)\phi^2 + \frac{\lambda}{4!}\phi^4 + \dots, $$
где $m^2(T) = m^2 - \alpha T^2$, с $\alpha > 0$, что при определённой температуре может привести к смене фазы (восстановление симметрии).
Для бозонных и фермионных полей можно выразить давление и плотность энергии через распределения Бозе–Эйнштейна и Ферми–Дирака:
$$ P = \pm g \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} \frac{|\mathbf{p}|^2}{3\sqrt{|\mathbf{p}|^2 + m^2}} \frac{1}{e^{\beta \sqrt{|\mathbf{p}|^2 + m^2}} \mp 1}, $$
где знак «–» для фермионов, «+» — для бозонов. При высоких температурах давление и энергия растут как $T^4$, в полном согласии с результатами релятивистской термодинамики и излучения.
Фазовые переходы первого и второго рода могут быть изучены на основе температурного поведения эффективного потенциала. Центральную роль играют температурно-зависимые конденсаты и симметрии.
Для анализа таких переходов используют методы:
Из-за сложности аналитических вычислений при сильном взаимодействии и высокой температуре, применяются решёточные методы (lattice QFT). Пространство-время дискретизируется, и термодинамические параметры (энергия, энтропия, флуктуации) вычисляются численно на суперкомпьютерах.
В частности, решёточная КХД позволила установить точную температуру перехода в кварк-глюонную плазму, определить характер этого перехода (кроссовер или фазовый скачок) и поведение состояния материи при экстремальных условиях.
Квантовые аномалии, такие как хиральная аномалия, также проявляют температурную зависимость. При $T > 0$ возникают токи, связанные с топологическими эффектами (например, эффект хирального магнитного тока), что имеет значение в физике тяжёлых ионов и ранней Вселенной.
Тепловые флуктуации приводят к модификации корреляционных функций и спектров возбуждений. Изучение этих флуктуаций даёт представление о механизмах релаксации, теплопроводности и вязкости в горячей материи.
КТП при конечной температуре играет решающую роль в описании процессов в ранней Вселенной: рождение частиц, инфляция, фазовые переходы, нарушение симметрий, бариогенез. Именно на основе термальной КТП можно формализовать сценарии великого объединения и предсказать поведение материи при температурах порядка $10^{15}$ К.
В частности, динамика скалярного поля инфлатона в термической среде позволяет описать reheating — переход от инфляционного этапа к стадии горячей плазмы.
Все вышеописанные методы демонстрируют, что КТП при конечной температуре является не только обобщением нулетемпературной теории, но и фундаментальным инструментом в современной теоретической физике, соединяющим квантовую механику, термодинамику и общую структуру Вселенной.