Квантовая термодинамика представляет собой область физики, объединяющую законы термодинамики с формализмом квантовой механики. В отличие от классической термодинамики, где система описывается макроскопическими величинами, такими как температура и энтропия, квантовая термодинамика учитывает микроскопическую структуру материи, включая суперпозицию, квантовую запутанность и неунитарную эволюцию в открытых системах.
Квантовое состояние системы описывается не точками в фазовом пространстве, а вектором состояния в гильбертовом пространстве или, в случае статистических ансамблей, плотностной матрицей ρ. Эволюция замкнутой квантовой системы задаётся уравнением Шрёдингера, тогда как для открытых систем используется линейное уравнение Линблада.
В классической статистической механике система может находиться в одном из состояний с определённой вероятностью. В квантовой теории аналогом является плотностная матрица:
$$ \rho = \sum_i p_i |\psi_i\rangle \langle \psi_i|, $$
где $p_i$ — вероятность нахождения системы в состоянии $|\psi_i\rangle$, причём $\sum_i p_i = 1$, а $\rho$ — эрмитова, положительно определённая и удовлетворяет $\operatorname{Tr}(\rho) = 1$.
С помощью плотностной матрицы можно вычислять средние значения физических величин:
$$ \langle A \rangle = \operatorname{Tr}(\rho A), $$
что делает её центральным объектом квантовой термодинамики.
Температура в квантовой термодинамике может быть определена через распределение Гиббса:
$$ \rho = \frac{e^{-\beta H}}{Z}, \quad Z = \operatorname{Tr}(e^{-\beta H}), $$
где $H$ — гамильтониан системы, $\beta = 1/(k_B T)$, $T$ — абсолютная температура, $k_B$ — постоянная Больцмана. Это распределение описывает равновесное состояние системы, находящейся в тепловом контакте с резервуаром.
Следует отметить, что в условиях квантового недетектируемого флуктуирующего окружения определение температуры может быть неоднозначным, и необходимо учитывать дополнительные параметры, такие как эффективность тепловых машин на квантовом уровне.
Квантовая энтропия формулируется через энтропию фон Неймана:
$$ S(\rho) = -k_B \operatorname{Tr}(\rho \ln \rho). $$
Эта энтропия обобщает классическую энтропию Шеннона на случай квантовых состояний. Она равна нулю для чистых состояний и положительна для смешанных. Энтропия фон Неймана удовлетворяет важным свойствам, таким как субаддитивность и неубывание при термодинамических преобразованиях (в открытых системах с неунитарной динамикой).
Квантовая энтропия также тесно связана с квантовой информацией. Например, квантовая взаимная информация между подсистемами A и B:
$$ I(A:B) = S(\rho_A) + S(\rhoB) - S(\rho{AB}), $$
где $\rho_A = \operatorname{Tr}B(\rho{AB})$ и $\rho_B = \operatorname{Tr}A(\rho{AB})$, показывает степень корреляции между частями квантовой системы, включая квантовую запутанность.
Квантовый аналог закона сохранения энергии формулируется как:
$$ \frac{d}{dt} \langle H \rangle = \operatorname{Tr} \left( \frac{d\rho}{dt} H \right) + \operatorname{Tr} \left( \rho \frac{dH}{dt} \right). $$
Первый член описывает тепло, связанное с изменением состояния $\rho$, второй — работу, производимую изменением гамильтониана $H$. Таким образом, в квантовом контексте различие между теплом и работой приобретает более строгую математическую форму.
Квантовый второй закон гласит, что энтропия фон Неймана не убывает в процессе взаимодействия с тепловым резервуаром:
$$ \Delta S \geq \frac{\Delta Q}{T}. $$
Однако в квантовых системах со значительной когерентностью возможны процессы, где энтропия может временно уменьшаться — за счёт квантовых флуктуаций и временной когерентной эволюции. Тем не менее, при усреднении по статистике таких процессов классическая формулировка сохраняется.
Одним из активно развиваемых направлений квантовой термодинамики является изучение квантовых тепловых машин: тепловых двигателей и холодильников на основе одного или нескольких квантовых уровней.
Простейший квантовый тепловой двигатель может быть реализован с помощью двухуровневой системы, взаимодействующей с горячим и холодным резервуарами, при этом рабочий цикл может быть аналогом цикла Карно. Эффективность таких машин ограничена аналогом предела Карно:
$$ \eta \leq 1 - \frac{T_c}{T_h}. $$
Однако, за счёт квантовой когерентности и запутанности возможны временные превышения классических ограничений эффективности. Эти эффекты исследуются с целью создания квантовых устройств нового поколения.
Реалистичные квантовые системы всегда взаимодействуют с окружением, что делает их открытыми системами. Эволюция плотностной матрицы таких систем описывается уравнением Линблада:
$$ \frac{d\rho}{dt} = -\frac{i}{\hbar} [H, \rho] + \sum_k \left( L_k \rho L_k^\dagger - \frac{1}{2} { L_k^\dagger L_k, \rho } \right), $$
где операторы $L_k$ описывают воздействие окружения. Это уравнение гарантирует полную положительность и след-единичность $\rho(t)$. С его помощью можно описывать декогеренцию, тепловое равновесие и диссипативные процессы в квантовой термодинамике.
Квантовая когерентность (наличие внедиагональных элементов в плотностной матрице) влияет на тепловые и информационные процессы. Когерентные состояния могут обладать энергетическим ресурсом, не присутствующим в классических аналогах. Эта идея легла в основу теории термодинамических ресурсов, где когерентность и запутанность рассматриваются как новые формы свободной энергии.
Запутанные состояния, в свою очередь, позволяют достигать более высокой производительности в информационно-термодинамических задачах, таких как квантовые измерения, квантовая память, квантовая коррекция ошибок и даже тепловые циклы с элементами квантовой обратной связи.
На нано- и микроскопических масштабах флуктуации становятся доминирующим фактором. В квантовой термодинамике флуктуационные теоремы, такие как равенство Ярзинского и теорема Крофорда-Кампара, позволяют количественно описывать отклонения от среднего в нелинейных и неравновесных процессах.
Например, равенство Ярзинского:
$$ \langle e^{-\beta W} \rangle = e^{-\beta \Delta F}, $$
где $W$ — работа, $\Delta F$ — изменение свободной энергии, остаётся справедливым и в квантовом случае при надлежащем определении работы через спектральные измерения.
Квантовая термодинамика играет ключевую роль в следующих направлениях:
Квантовая термодинамика становится фундаментальной дисциплиной, стоящей на пересечении квантовой физики, статистической механики и теории информации, и служит основой для будущих технологий, работающих в предельно малых масштабах и при сверхнизких температурах.