Постулаты специальной теории относительности
Специальная теория относительности (СТО), сформулированная Альбертом Эйнштейном в 1905 году, основана на двух постулатах:
Принцип относительности: Все инерциальные системы отсчёта эквивалентны с точки зрения формулировки физических законов. Это означает, что ни один эксперимент, проведённый в замкнутой системе, движущейся равномерно и прямолинейно, не может определить её абсолютную скорость.
Постоянство скорости света: Скорость света в вакууме одинакова для всех наблюдателей, независимо от движения источника света или приёмника, и равна $c \approx 3 \cdot 10^8$ м/с.
Эти два принципа радикально изменили представления о пространстве и времени, отменив абсолютность одновременности и установив единую четырёхмерную структуру пространства-времени.
Относительность одновременности
Рассмотрим два события, происходящие в разных точках пространства. С точки зрения одного наблюдателя они могут быть одновременными, в то время как другой наблюдатель, движущийся относительно первого, может считать, что эти события происходят в разное время. Таким образом, понятие одновременности становится относительным.
Математически это выражается в преобразованиях Лоренца, которые связывают координаты событий в разных инерциальных системах отсчёта:
$$ \begin{cases} x' = \gamma (x - vt) \ t' = \gamma \left( t - \frac{vx}{c^2} \right) \end{cases} $$
где $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$ — лоренц-фактор, $v$ — относительная скорость систем отсчёта, $x, t$ — координаты и время в системе покоя, $x', t'$ — координаты и время в движущейся системе.
Замедление времени
Если часы движутся с постоянной скоростью $v$ относительно наблюдателя, то они идут медленнее. Этот эффект выражается формулой:
$$ \Delta t = \gamma \Delta t_0 $$
где $\Delta t_0$ — собственное время (время в системе, где часы покоятся), $\Delta t$ — время, измеренное внешним наблюдателем.
Это явление подтверждено множеством экспериментов, включая измерения времени жизни быстрых мюонов в атмосфере Земли.
Сокращение длины
Длина тела, измеренная в направлении его движения относительно наблюдателя, сокращается:
$$ L = \frac{L_0}{\gamma} $$
где $L_0$ — собственная длина (в системе, где тело покоится), $L$ — длина, измеренная в движущейся системе.
Это сокращение наблюдается только в направлении движения и никогда не может быть замечено самим телом в его собственной системе отсчёта.
Преобразования Лоренца
Преобразования Лоренца заменяют классические преобразования Галилея в условиях высоких скоростей, приближающихся к $c$. Они обеспечивают инвариантность уравнений Максвелла и согласуют электродинамику с принципом относительности.
Полные преобразования координат в пространственно-временном континууме между двумя инерциальными системами:
$$ \begin{cases} x' = \gamma(x - vt) \ y' = y \ z' = z \ t' = \gamma \left(t - \dfrac{vx}{c^2} \right) \end{cases} $$
Обратные преобразования:
$$ \begin{cases} x = \gamma(x' + vt') \ y = y' \ z = z' \ t = \gamma \left(t' + \dfrac{vx'}{c^2} \right) \end{cases} $$
Инвариантность интервала
Пространственно-временной интервал между двумя событиями:
$$ s^2 = c^2 t^2 - x^2 - y^2 - z^2 $$
является инвариантным, то есть одинаковым во всех инерциальных системах. Это означает, что пространство и время не являются независимыми величинами, а объединены в четырёхмерное пространство-время Минковского.
Типы интервалов:
Релятивистская динамика
Масса в СТО — не инвариантная величина, в отличие от энергии и импульса. Поэтому вводится понятие энергии и импульса, подчиняющихся другим законам, чем в классической механике.
Импульс частицы:
$$ \vec{p} = \gamma m \vec{v} $$
Полная энергия:
$$ E = \gamma mc^2 $$
При этом видно, что при $v \ll c$, $\gamma \approx 1 + \frac{v^2}{2c^2}$, и тогда:
$$ E \approx mc^2 + \frac{1}{2}mv^2 $$
То есть энергия включает в себя покоящуюся часть $mc^2$ и кинетическую энергию.
Энергия покоя и знаменитое уравнение Эйнштейна
При $v = 0$ имеем:
$$ E_0 = mc^2 $$
Это фундаментальное выражение означает, что масса эквивалентна энергии, и из неё можно её извлечь (принцип ядерной энергии). При этом масса превращается в энергию или наоборот — энергия может быть источником массы.
Четырёхмерный формализм и четыре-векторы
Для описания физических величин в СТО удобно использовать четырёхмерный формализм:
$$ x^\mu = (ct, x, y, z) $$
$$ p^\mu = \left( \dfrac{E}{c}, p_x, p_y, p_z \right) $$
Скалярное произведение четырёх-векторов инвариантно:
$$ p^\mu p_\mu = \left( \dfrac{E}{c} \right)^2 - p^2 = m^2 c^2 $$
Предел достижимости скорости
Согласно СТО, никакое материальное тело не может достичь скорости света, поскольку при этом потребовалась бы бесконечная энергия. Свет движется с постоянной скоростью $c$, и эта скорость является верхним пределом для передачи информации и движения частиц с массой.
Эффект Доплера и аберрация в СТО
Релятивистский эффект Доплера учитывает как движение источника, так и наблюдателя, с учётом конечной скорости света. Формула для наблюдаемой частоты:
$$ f' = f \sqrt{ \frac{1 - v/c}{1 + v/c} } $$
Аберрация света проявляется в смещении направления прихода света в движущейся системе. Это подтверждается при наблюдении звёзд с движущейся Земли.
Релятивистские законы сохранения
Закон сохранения импульса и энергии сохраняется в СТО, но выражается с использованием четырёхмерных величин. При столкновениях частиц:
$$ p^\mu{\text{нач}} = p^\mu{\text{кон}} $$
Это позволяет анализировать процессы рождения частиц, аннигиляции, распада, слияния с полным учётом релятивистских эффектов.