Политропическим называется термодинамический процесс, протекающий в системе с газом, в ходе которого сохраняется постоянной определённая комбинация параметров состояния. Математически он описывается выражением:
$$ pV^n = \text{const} $$
где $p$ — давление, $V$ — объём, $n$ — показатель политропы (политропический показатель), числовая константа, характеризующая тип процесса.
Политропический процесс охватывает широкий класс термодинамических превращений, включая изотермический, адиабатический, изобарический и изохорический процессы как частные случаи при определённых значениях $n$. Это делает политропу универсальной моделью для описания реальных процессов, происходящих в технических устройствах и природе.
Значения показателя политропы $n$ для частных случаев
| Процесс | Условие | Значение $n$ |
|---|---|---|
| Изотермический | $T = \text{const}$ | $n = 1$ |
| Адиабатический | $Q = 0$ | $n = \gamma$ |
| Изобарический | $p = \text{const}$ | $n = 0$ |
| Изохорический | $V = \text{const}$ | $n \to \infty$ |
Здесь $\gamma = \frac{C_p}{C_v}$ — показатель адиабаты, отношение теплоёмкостей при постоянном давлении и объёме.
Вывод уравнения политропы
Исходя из первого закона термодинамики:
$$ dQ = dU + dA $$
Для идеального газа:
Подставим:
$$ C\,dT = C_v\,dT + p\,dV \Rightarrow (C - C_v)\,dT = p\,dV $$
Используя уравнение состояния идеального газа $pV = \nu RT$, получим выражение для $dT$ и подставим в уравнение:
$$ (C - C_v)\, \frac{p\,dV + V\,dp}{\nu R} = p\,dV $$
После преобразования и деления на $pV$ получим:
$$ \left( \frac{C - C_v}{\nu R} \right) \left( \frac{dV}{V} + \frac{dp}{p} \right) = \frac{dV}{V} $$
Из этого выражения можно получить связь между $p$ и $V$ в виде:
$$ pV^n = \text{const} $$
где
$$ n = \frac{C - C_p}{C - C_v} $$
Работа в политропическом процессе
Работа газа при политропическом процессе:
$$ A = \int_{V_1}^{V_2} p\,dV $$
Поскольку $pV^n = \text{const}$, отсюда:
$$ p = \frac{p_1V_1^n}{V^n} $$
Подставим:
$$ A = \int_{V_1}^{V_2} \frac{p_1V_1^n}{V^n} \, dV = \frac{p_1V_1^n}{1 - n} \left( V_2^{1-n} - V_1^{1-n} \right), \quad \text{при } n \ne 1 $$
Или в более удобной форме:
$$ A = \frac{p_2V_2 - p_1V_1}{1 - n} $$
Для случая $n = 1$ (изотерма):
$$ A = \nu RT \ln\left( \frac{V_2}{V_1} \right) $$
Изменение внутренней энергии
Для идеального газа:
$$ \Delta U = C_v (T_2 - T_1) $$
Температуры можно выразить через параметры состояния с использованием уравнения состояния:
$$ T = \frac{pV}{\nu R} $$
Таким образом:
$$ \Delta U = C_v \left( \frac{p_2V_2 - p_1V_1}{\nu R} \right) $$
Количество теплоты
Из уравнения первого закона:
$$ Q = \Delta U + A $$
Подставим:
$$ Q = C_v (T_2 - T_1) + \frac{p_2V_2 - p_1V_1}{1 - n} $$
Альтернативно, зная, что $Q = C(T_2 - T_1)$, где $C$ — теплоёмкость политропы, можно определить:
$$ C = C_v + \frac{R}{1 - n} $$
Следовательно:
$$ Q = \left( C_v + \frac{R}{1 - n} \right)(T_2 - T_1) $$
Графики политроп
Политропы можно изобразить на $pV$-диаграмме как кривые гиперболического типа, форма которых зависит от значения $n$:
Чем больше значение $n$, тем круче спадает кривая при расширении и тем выше растёт давление при сжатии.
Физический смысл политропического показателя $n$
Показатель $n$ определяет характер теплообмена между системой и внешней средой:
Показатель $n$ также можно связать с долей теплоты, идущей на изменение внутренней энергии и совершение работы. Таким образом, политропа позволяет учесть реальное поведение газа, например, при частичном теплообмене, сопротивлении или утечке.
Применение политроп
Политропы широко используются для моделирования процессов в тепловых машинах (двигателях внутреннего сгорания, компрессорах, турбинах), где процессы не являются строго адиабатическими или изотермическими. Они позволяют учесть реальный характер теплообмена и потерь, что делает модель более точной и применимой в инженерной практике.
Особенно важно применение политроп в анализе процессов в цилиндрах поршневых машин, где степень политропичности зависит от теплоизоляции стенок, частоты вращения и других факторов.