Распределения Ферми-Дирака и Бозе-Эйнштейна

Квантовая статистика: общее положение

В классической статистике, описывающей макроскопические свойства систем на основе микроскопических состояний, предполагается, что частицы различимы и могут занимать любые состояния без ограничений. Однако при достаточно низких температурах и высоких плотностях классическое приближение теряет применимость. В таких условиях необходимо учитывать квантовую природу частиц, что приводит к необходимости использования квантовой статистики.

Квантовые частицы делятся на два класса:

Фермионы — частицы с полуцелым спином (например, электроны, протоны, нейтроны), подчиняющиеся принципу запрета Паули: никакие два фермиона не могут находиться в одном и том же квантовом состоянии.
Бозоны — частицы с целым спином (например, фотоны, кванты звука, атомы гелия-4), не ограниченные принципом Паули, что позволяет многим бозонам находиться в одном состоянии.

Распределения Ферми-Дирака и Бозе-Эйнштейна являются решениями задачи распределения частиц по энергиям с учетом квантовых свойств.

Распределение Ферми-Дирака

Для системы, состоящей из фермионов, среднее число частиц в состоянии с энергией $\varepsilon_i$ при температуре $T$ и химическом потенциале $\mu$ описывается распределением Ферми-Дирака:

$$ \bar{n}_i = \frac{1}{e^{(\varepsilon_i - \mu)/kT} + 1} $$

где:

$\bar{n}_i$ — среднее число частиц в состоянии $i$,
$\varepsilon_i$ — энергия уровня,
$\mu$ — химический потенциал,
$k$ — постоянная Больцмана,
$T$ — абсолютная температура.

Особенности распределения Ферми-Дирака:

При $T \to 0$: все состояния с $\varepsilon_i < \mu$ полностью заняты ($\bar{n}_i \to 1$), а состояния с $\varepsilon_i > \mu$ пусты ($\bar{n}_i \to 0$). Энергия $\mu$ при нуле температур называется энергией Ферми.
При $T > 0$: распределение становится сглаженным, и заполняемость уровней уменьшается с ростом энергии.
Распределение ограничено сверху: $\bar{n}_i \leq 1$, что отражает принцип Паули.

Распределение Бозе-Эйнштейна

Для бозонов используется распределение Бозе-Эйнштейна, в котором среднее число частиц на уровне энергии $\varepsilon_i$ выражается как:

$$ \bar{n}_i = \frac{1}{e^{(\varepsilon_i - \mu)/kT} - 1} $$

Здесь те же обозначения, что и в распределении Ферми-Дирака.

Ключевые особенности распределения Бозе-Эйнштейна:

В отличие от фермионов, бозоны не подчиняются принципу запрета Паули. Таким образом, $\bar{n}_i$ не ограничено сверху.
При понижении температуры возможна ситуация, при которой значительное число частиц "собирается" в основное квантовое состояние: это явление называется конденсацией Бозе-Эйнштейна.
Для бозонов химический потенциал не может превышать минимальной энергии уровня: $\mu < \varepsilon_0$, где $\varepsilon_0$ — энергия основного состояния.

Сравнение с распределением Максвелла-Больцмана

В классической статистике, применимой к различимым частицам с высокой энергией или при высоких температурах, среднее число частиц на уровне энергии $\varepsilon_i$ определяется распределением Максвелла-Больцмана:

$$ \bar{n}_i = A e^{-\varepsilon_i / kT} $$

где $A$ — нормировочный множитель, определяемый числом частиц и объёмом системы.

Классическое распределение является хорошим приближением в области, где $(\varepsilon_i - \mu) \gg kT$, то есть когда вероятность заселения уровня мала ($\bar{n}_i \ll 1$). В этом случае:

Для фермионов: $e^{(\varepsilon_i - \mu)/kT} \gg 1 \Rightarrow \bar{n}_i \approx e^{-(\varepsilon_i - \mu)/kT}$
Для бозонов: $\bar{n}_i \approx e^{-(\varepsilon_i - \mu)/kT}$

Таким образом, оба квантовых распределения переходят в распределение Максвелла-Больцмана в пределе высокой температуры и/или малой плотности.

Плотность состояний и интегральные выражения

Для систем с непрерывным спектром энергий (например, идеальный газ в объеме $V$) важно учитывать плотность состояний $g(\varepsilon)$. Тогда общее число частиц и внутренняя энергия выражаются как:

$$ N = \int_0^\infty \frac{g(\varepsilon)\, d\varepsilon}{e^{(\varepsilon - \mu)/kT} \pm 1} $$

$$ U = \int_0^\infty \frac{\varepsilon\, g(\varepsilon)\, d\varepsilon}{e^{(\varepsilon - \mu)/kT} \pm 1} $$

где знак $(+)$ относится к фермионам, а $(-)$ — к бозонам.

Для свободных частиц в трёхмерном объеме:

$$ g(\varepsilon) = \frac{V}{4\pi^2} \left( \frac{2m}{\hbar^2} \right)^{3/2} \varepsilon^{1/2} $$

что позволяет проводить конкретные вычисления и строить температурные зависимости.

Конденсация Бозе-Эйнштейна

В случае бозонного газа при снижении температуры возникает особенность: интеграл для числа частиц имеет предел, даже при $\mu \to 0$, что означает, что только конечное число частиц может быть распределено по возбужденным состояниям. Остальные «сконденсируются» в основное состояние с $\varepsilon = 0$.

Критическая температура $T_c$ конденсации определяется из условия:

$$ N = \int_0^\infty \frac{g(\varepsilon)\, d\varepsilon}{e^{\varepsilon / kT_c} - 1} $$

Ниже этой температуры доля частиц в основном состоянии растёт, достигая макроскопических значений. Это явление было экспериментально подтверждено в 1995 году на разбавленном газе атомов рубидия.

Поведение ферми-газа при $T \to 0$

При температуре, стремящейся к нулю, ферми-газ характеризуется заполнением всех состояний с энергией ниже энергии Ферми $\varepsilon_F$. В этом случае:

$$ N = \int_0^{\varepsilon_F} g(\varepsilon) d\varepsilon, \quad U = \int_0^{\varepsilon_F} \varepsilon g(\varepsilon) d\varepsilon $$

Поведение систем, состоящих из фермионов, вблизи нуля температур, отличается высокой стабильностью и однозначной определённостью. Это лежит в основе таких явлений, как вырождение электронного газа в металлах, устойчивость белых карликов (за счёт давления вырожденного газа электронов), и структура нейтронных звёзд.

Термодинамические функции квантовых газов

Для статистически описываемых квантовых систем вводятся обобщённые функции:

Функция Грандканонического распределения (великая статистическая сумма):

$$ \ln \Xi = \pm \int g(\varepsilon) \ln\left[1 \pm e^{-(\varepsilon - \mu)/kT}\right] d\varepsilon $$

Знак плюс — фермионы, минус — бозоны.
Давление:

$$ P = \frac{1}{\beta} \frac{\ln \Xi}{V} $$
Свободная энергия:

$$ F = -kT \ln \Xi $$
Энтропия и энергия: находятся через стандартные термодинамические соотношения.

Роль химического потенциала

Химический потенциал $\mu$ играет центральную роль в распределениях. Он зависит от температуры и плотности частиц:

У фермионов при $T = 0$ $\mu = \varepsilon_F$,
У бозонов $\mu < \varepsilon_0$, и при понижении температуры стремится к нулю,
При высоких температурах или малых плотностях $\mu \to -\infty$, и квантовые распределения переходят в классическое.

Применения квантовой статистики

Квантовая статистика лежит в основе множества физических явлений:

Электронные свойства металлов и полупроводников (Ферми-газ),
Радиоизлучение чёрного тела (фотоны — бозоны),
Статистическая механика фотонного газа,
Сверхтекучесть жидкого гелия (конденсация бозонов),
Сверхпроводимость (куперовские пары — составные бозоны),
Поведение нейтронных звёзд и белых карликов.

Использование квантовых распределений Ферми-Дирака и Бозе-Эйнштейна позволяет глубоко понять фундаментальные свойства материи при экстремальных условиях, существенно расширяя границы применимости термодинамики за пределы классических приближений.