Основные уравнения релятивистской кинетики
В релятивистской кинетической теории основным объектом является функция распределения $f(x^\mu, p^\nu)$, зависящая от координат четырёхмерного пространства-времени $x^\mu = (ct, \mathbf{x})$ и от четырёхмерного импульса $p^\mu = (E/c, \mathbf{p})$. Она описывает плотность вероятности нахождения частицы в заданной области фазового пространства. В отличие от нерелятивистской теории, здесь фазовое пространство подчинено дополнительным ограничениям, связанным с инвариантностью по Лоренцу.
Функция распределения нормируется с учетом ковариантного объема в пространстве импульсов. Для частиц с ненулевой массой это означает выполнение соотношения:
$$ p^\mu p_\mu = -m^2 c^2 $$
и ковариантный элемент объема в пространстве импульсов записывается как:
$$ d^3p/E \quad \text{или} \quad \frac{d^3p}{p^0} \quad \text{(в системе единиц } c=1\text{)}. $$
Уравнение Больцмана в релятивистской форме
Основное уравнение, описывающее эволюцию функции распределения, — это релятивистское уравнение Больцмана:
$$ p^\mu \frac{\partial f}{\partial x^\mu} + F^\mu \frac{\partial f}{\partial p^\mu} = C[f] $$
где $F^\mu$ — внешняя сила в четырёхмерной формулировке (например, электромагнитное воздействие), $C[f]$ — оператор столкновений, описывающий взаимодействие между частицами.
Столкновительный интеграл $C[f]$ принимает форму, согласованную с лоренц-инвариантностью. Например, для бинарных столкновений он включает интеграл по инвариантному объему в пространстве импульсов с учётом сечений и статистических факторов.
Четырёхтоки и макроскопические величины
Переход от микроскопического описания к макроскопическим уравнениям осуществляется с помощью моментов функции распределения. К важнейшим величинам относятся:
$$ N^\mu = \int \frac{d^3p}{p^0} \, p^\mu f(x, p) $$
$$ T^{\mu\nu} = \int \frac{d^3p}{p^0} \, p^\mu p^\nu f(x, p) $$
Эти величины удовлетворяют уравнениям сохранения:
$$ \partial\mu N^\mu = 0, \quad \partial\mu T^{\mu\nu} = 0 $$
при отсутствии внешних воздействий и источников.
Локальное термодинамическое равновесие
При приближении локального равновесия функция распределения принимает форму, аналогичную распределению Максвелла–Больцмана, но с учетом релятивистской инвариантности:
$$ f\text{eq}(x, p) = \frac{g}{(2\pi \hbar)^3} \exp\left[ -\frac{p^\mu u\mu(x)}{k_B T(x)} + \frac{\mu(x)}{k_B T(x)} \right] $$
Здесь:
Такое распределение приводит к тензору энергии-импульса идеальной жидкости:
$$ T^{\mu\nu} = (\varepsilon + P) u^\mu u^\nu - P g^{\mu\nu} $$
где $\varepsilon$ — энергия в системе покоя жидкости, $P$ — давление.
Уравнение состояния релятивистского газа
Для релятивистского идеального газа важным результатом является зависимость между давлением, энергией и плотностью частиц. В ультрарелятивистском пределе ($k_B T \gg mc^2$):
$$ P = \frac{1}{3} \varepsilon, \quad \varepsilon = 3 n k_B T $$
что совпадает с уравнением состояния фотонного газа (например, для радиационного давления в космологии).
В нерелятивистском пределе ($k_B T \ll mc^2$) уравнение состояния переходит к классическому:
$$ P = n k_B T, \quad \varepsilon = n m c^2 + \frac{3}{2} n k_B T $$
Релятивистская теория переноса
Для описания отклонений от локального равновесия и процессов переноса (вязкость, теплопроводность и пр.) разлагают функцию распределения:
$$ f = f_\text{eq} + \delta f $$
где $\delta f$ мало по сравнению с $f_\text{eq}$. Метод Чепмен–Энскога или моментные методы (в частности, метод Градо) применяются для получения выражений для транспортных коэффициентов.
Одним из центральных результатов является получение уравнений Навье–Стокса в релятивистской форме. Они включают вязкие и тепловые потоки, выражаемые через градиенты температуры и скорости. Особенность релятивистского случая — необходимость согласования с причинностью и устойчивостью, что требует более сложных моделей (например, теория Израэля–Стюарта).
Релятивистская теория для частиц с нулевой массой
Фотонный и нейтринный газы требуют отдельного рассмотрения. Поскольку масса этих частиц равна нулю, их четырехимпульс лежит на световом конусе:
$$ p^\mu p_\mu = 0 $$
Распределение Планка:
$$ f(p) = \frac{1}{\exp\left( \frac{p^\mu u_\mu}{k_B T} \right) - 1} $$
является равновесным решением для фотонов. Из него следуют фундаментальные термодинамические зависимости для фотонного газа:
$$ \varepsilon = a T^4, \quad P = \frac{1}{3} \varepsilon, \quad a = \frac{\pi^2 k_B^4}{15 \hbar^3 c^3} $$
Это играет ключевую роль в космологической динамике (излучательная эпоха во Вселенной), а также в описании процессов в астрофизике (излучение звёзд, реликтовое излучение).
Ковариантность и симметрии
Формулировка релятивистской кинетической теории опирается на лоренц-инвариантность и согласуется с принципом наименьшего действия. Все интегралы, функции и уравнения записываются в ковариантной форме, что позволяет применять их в произвольных инерциальных системах отсчёта.
Кроме того, теория может быть обобщена на обобщённые геометрии (например, релятивистская кинетика на искривлённом пространстве-времени, как в общей теории относительности), где фазовое пространство включает структуру на касательном расслоении многообразия.
Применения релятивистской кинетики
Статистический вывод термодинамики
Релятивистская кинетика служит микроскопическим основанием для релятивистской термодинамики. На её основе можно строго вывести термодинамические функции, уравнения состояния, законы переноса. Особенно важен вывод второго начала термодинамики: с помощью интеграла столкновений можно показать, что 4-дивергенция энтропийного тока положительна:
$$ \partial_\mu S^\mu \geq 0, \quad S^\mu = -k_B \int \frac{d^3p}{p^0} \, p^\mu f \ln f $$
что подтверждает неубывание энтропии в замкнутых системах, совместно с причинной структурой пространства-времени.