Понятие ренормализационной группы в термодинамике и статистической физике
Ренормализационная группа (РГ) представляет собой мощный аналитический метод, разработанный для описания поведения физических систем при изменении масштаба. В термодинамике и особенно в статистической физике РГ позволяет понять критические явления, фазовые переходы и универсальность. Основная идея заключается в изучении того, как параметры теории (температура, взаимодействия, корреляционные длины и т. д.) изменяются при переходе от одного масштаба к другому.
Система с большим числом степеней свободы часто демонстрирует сложное поведение на больших длинах. Однако, если удаётся эффективно «пересчитать» теорию при укрупнении масштаба, можно перейти к более простой эффективной теории, содержащей ту же физику на новых уровнях описания.
Основным техническим шагом в построении РГ является интегрирование по быстрым (коротковолновым) степеням свободы. Пусть имеется функция распределения Гиббса или функционал действия, описывающий систему при некотором масштабе $\Lambda$. Устраняя из описания степени свободы с волновыми числами $k > \Lambda/b$ (где $b > 1$), мы получаем новую теорию для остаточных мод с волновыми числами $k < \Lambda/b$.
После этого производится перенормировка (рескейлинг): координаты, поля и параметры теории изменяются таким образом, чтобы новая теория описывала ту же физику, но уже в исходном масштабе.
Такой процесс приводит к рекурсивному определению нового гамильтониана или действия, где параметры зависят от масштаба $b$. Эти изменения описываются уравнениями РГ.
Пусть ${g_i}$ — множество параметров теории: температура, коэффициенты взаимодействия, химический потенциал и т. д. Под действием РГ-преобразования они переходят в новые значения ${g_i'}$. Повторение этой процедуры формирует траекторию (поток) в пространстве параметров.
Уравнения, описывающие эти потоки, называются уравнениями ренормализационной группы:
$$ \frac{d g_i}{d \ln b} = \beta_i({g_j}) $$
где $\beta_i$ — так называемые β-функции. Они определяют, как параметры теории изменяются при увеличении масштаба.
Особое значение имеют фиксированные точки РГ: это такие точки ${g_i^*}$, при которых все β-функции обнуляются:
$$ \beta_i({g_j^*}) = 0 $$
На этих точках система инвариантна при изменении масштаба. Именно фиксированные точки соответствуют критическим точкам фазовых переходов второго рода.
Собственные значения якобиана определяют характер поведения системы: если собственное значение положительно, то соответствующее направление называется релевантным, если отрицательно — нерелевантным, если нулевое — маргинальным.
РГ-метод объясняет феномен универсальности — тот факт, что критическое поведение различных физических систем может описываться одними и теми же критическими индексами. Это происходит потому, что на больших масштабах система стремится к одному и тому же фиксированному действию, независимо от микроскопических деталей.
Критические индексы можно получить из собственных значений линейного уравнения РГ вблизи фиксированной точки. Например, поведение корреляционной длины $\xi \sim |T - T_c|^{-\nu}$ определяется собственным значением, связанным с температурным отклонением от критической точки:
$$ \nu = \frac{1}{y_t} $$
где $y_t$ — собственное значение, соответствующее релевантному направлению, ассоциированному с температурой.
Рассмотрим двумерную модель Изинга на квадратной решетке с гамильтонианом:
$$ H = -J \sum_{\langle i,j \rangle} s_i s_j $$
РГ-преобразование может быть реализовано, например, методом блочной спиновой трансформации. Решетка разбивается на блоки $2 \times 2$, внутри которых спины заменяются на один эффективный спин (например, по правилу большинства).
После такого преобразования получается новый гамильтониан того же типа, но с новыми параметрами $J'$, $T'$. Повторение процедуры позволяет исследовать поток параметров и обнаружить фиксированную точку, соответствующую критической температуре.
В рамках $\epsilon$-разложения (см. ниже), для моделей типа $\phi^4$ также получаются результаты, согласующиеся с решением модели Изинга в двух измерениях.
Вблизи критической точки поведение многих систем можно описать эффективной скалярной полевой теорией:
$$ \mathcal{H}[\phi] = \int d^d x \left[ \frac{1}{2} (\nabla \phi)^2 + \frac{1}{2} r \phi^2 + \frac{u}{4!} \phi^4 \right] $$
Это — так называемая $\phi^4$-модель, универсальная для широкого класса систем с $\mathbb{Z}_2$-симметрией. В рамках РГ-анализа параметры $r$ и $u$ «текут» при изменении масштаба, и можно найти критическую точку как фиксированную точку этих потоков.
Особенно важным инструментом является $\epsilon$-разложение, предложенное Уилсоном и Фишером. Оно основано на разложении по малому параметру $\epsilon = 4 - d$, где $d$ — пространственная размерность. В этом подходе β-функции рассчитываются как ряды по $\epsilon$, и находят значения критических индексов:
$$ \nu = \frac{1}{2} + \frac{\epsilon}{12} + \ldots, \quad \eta = \frac{\epsilon^2}{54} + \ldots $$
Методы РГ находят применение не только в равновесной статистике, но и в неравновесных системах, где возникают временные корреляции и критические замедления. Здесь вводится понятие динамической ренормализационной группы, и появляется дополнительный критический индекс $z$, характеризующий масштабирование времени:
$$ t \sim \xi^z $$
В динамических моделях типа А, В, С по классификации Хохенберга и Халперина, РГ-анализ позволяет получить значения $z$, которые зависят от характера сохранения переменных и от наличия шума.
РГ-схема имеет естественную геометрическую интерпретацию: она реализует масштабное преобразование пространства. Критическое состояние соответствует самоподобной структуре, что связано с фрактальной природой конфигураций системы при $T = T_c$. Корреляционная функция вблизи критической точки подчиняется степенному закону:
$$ G(r) \sim \frac{1}{r^{d - 2 + \eta}} $$
что отражает отсутствие характерного масштаба длины.
В квантовых системах при нулевой температуре фазовые переходы происходят под действием квантовых флуктуаций. Здесь время становится дополнительным измерением, и РГ-методы применяются в пространстве $d + 1$ измерений. Типичным примером является переход металл–изолятор, сверхпроводящие переходы, фазовые переходы в магнитных и спиновых системах.
РГ-анализ позволяет установить квантовые критические точки и извлечь критические индексы, включая динамический индекс $z$, отражающий анизотропию между временем и пространством.
В современном исследовательском арсенале активно используются:
Эти методы позволяют исследовать как классические, так и квантовые системы в широком диапазоне условий и размерностей.