Средняя длина свободного пробега — это статистическая величина, характеризующая расстояние, которое молекула газа в среднем проходит между двумя последовательными соударениями. Это фундаментальное понятие в кинетической теории газов, оказывающее влияние на вязкость, теплопроводность и диффузию в газах. В идеализированной модели идеального газа молекулы рассматриваются как материальные точки, движущиеся прямолинейно между мгновенными упругими столкновениями.
Если молекулы имеют конечные размеры, то взаимодействие между ними при сближении определяет вероятность столкновений, что и задаёт физический смысл длины свободного пробега.
Пусть молекула движется со средней скоростью $\bar{v}$ в среде, содержащей другие молекулы с концентрацией $n$ (число молекул в единице объёма). Столкновение происходит, если расстояние между центрами двух молекул становится меньше суммы их радиусов. Если радиус одной молекулы $r$, то эффективный диаметр столкновения составляет $d = 2r$, а эффективное сечение столкновения (в классической модели твердых сфер) равно:
$$ \sigma = \pi d^2 $$
За время $\Delta t$ молекула проходит путь $\bar{v} \Delta t$, и за этот путь она "зачёрпывает" объём $\sigma \bar{v} \Delta t$, в котором могут находиться другие молекулы. Среднее число столкновений за это время тогда равно:
$$ \Delta N = n \sigma \bar{v} \Delta t $$
Соответственно, среднее число столкновений в единицу времени:
$$ \nu = \frac{\Delta N}{\Delta t} = n \sigma \bar{v} $$
А средняя длина свободного пробега $\lambda$ равна отношению средней скорости к частоте столкновений:
$$ \lambda = \frac{\bar{v}}{\nu} = \frac{1}{n \sigma} $$
Однако это выражение справедливо при условии неподвижных мишеней. В действительности молекулы находятся в непрерывном хаотическом движении, и относительная скорость двух сталкивающихся молекул превышает $\bar{v}$.
Для точного расчёта необходимо учитывать среднюю относительную скорость $\bar{v}_{\text{отн}}$ между двумя молекулами. В кинетической теории показано, что:
$$ \bar{v}_{\text{отн}} = \sqrt{2} \bar{v} $$
С учётом этого уточняется формула длины свободного пробега:
$$ \lambda = \frac{1}{\sqrt{2} \, n \sigma} $$
Это выражение используется в большинстве задач и расчётов, где предполагается идеальный газ с одинаковыми по размеру и массе молекулами.
Чтобы выразить $\lambda$ через макроскопические параметры, можно воспользоваться уравнением состояния идеального газа:
$$ p = n k_B T \quad \Rightarrow \quad n = \frac{p}{k_B T} $$
Подставляя в формулу для длины пробега:
$$ \lambda = \frac{k_B T}{\sqrt{2} \pi d^2 p} $$
Это ключевое выражение показывает, что:
Таким образом, при увеличении давления (при постоянной температуре) длина пробега уменьшается, а при увеличении температуры (при постоянном давлении) — увеличивается.
Для воздуха при температуре $T = 273 \, \text{K}$, давлении $p = 1.01 \times 10^5 \, \text{Па}$ и диаметре молекул кислорода порядка $d \approx 3 \times 10^{-10} \, \text{м}$, средняя длина свободного пробега оценивается как:
$$ \lambda \approx \frac{1.38 \times 10^{-23} \cdot 273}{\sqrt{2} \cdot \pi \cdot (3 \times 10^{-10})^2 \cdot 1.01 \times 10^5} \approx 6.8 \times 10^{-8} \, \text{м} $$
То есть примерно 68 нанометров.
С ростом плотности $n$, что характерно, например, при сжатии газа, длина свободного пробега резко уменьшается. Наоборот, при разрежении газа (в вакууме) $n \to 0$, и $\lambda \to \infty$. Это объясняет, почему в высоком вакууме газы ведут себя как совокупности не взаимодействующих частиц — столкновения становятся крайне редкими.
Увеличение температуры при фиксированном давлении приводит к уменьшению плотности $n$, а значит, к увеличению $\lambda$. При этом возрастает и средняя скорость молекул, что также влияет на частоту столкновений.
1. Вязкость газа. Молекулярная природа вязкости объясняется тем, что молекулы переносят импульс между слоями газа. Чем больше длина пробега, тем больше расстояние, на котором происходит перенос, и тем выше вязкость. Вязкость газа почти не зависит от давления, что контринтуитивно, но объясняется взаимной компенсацией факторов в микроскопической формуле.
2. Теплопроводность. Аналогично, молекулы переносят энергию. Большая длина пробега означает более эффективный перенос тепла, и потому теплопроводность увеличивается при увеличении $\lambda$, то есть при снижении давления или увеличении температуры.
3. Диффузия. Диффузия обусловлена случайным движением молекул, переходящих из областей с большей концентрацией в области с меньшей. Эффективный коэффициент диффузии пропорционален длине свободного пробега.
4. Границы применимости гидродинамики. Если характерный размер задачи $L$ сравним с $\lambda$, то применимость уравнений гидродинамики (например, уравнений Навье-Стокса) теряется. Для описания таких систем используется кинетическое уравнение Больцмана. Вводится безразмерный параметр — число Кнудсена:
$$ \text{Kn} = \frac{\lambda}{L} $$
При $\text{Kn} \ll 1$ газ описывается как континуум; при $\text{Kn} \gtrsim 0.1$ необходим переход к молекулярным описаниям.
Приведённые выше выводы основаны на модели жестких шаров. На практике молекулы взаимодействуют через потенциалы типа Леннард-Джонса, включающие дальнодействующие притяжения и короткодействующие отталкивания. В этом случае эффективное сечение столкновения $\sigma$ зависит от относительной скорости, и следовательно, от температуры.
Сечение при этом определяется через интеграл по траекториям взаимодействующих молекул и может быть значительно больше, чем в модели твердых сфер.
Для расчётов в технической термодинамике часто используют табличные данные по эффективному сечению или вводят температурно-зависимые приближённые выражения.
В задачах, связанных с высоковакуумными системами, знание длины свободного пробега критически важно. Например, при давлении $10^{-6} \, \text{Па}$ длина пробега молекул воздуха достигает метров и более, что полностью исключает возможности использования обычных насосов или манометров. Требуется переход к молекулярным средствам измерения и моделирования.
В аэродинамике при движении объектов на больших высотах (в разреженной атмосфере) длина свободного пробега становится сравнимой с размерами тела. Тогда привычные уравнения неприменимы, и анализ проводится в рамках свободномолекулярной газовой динамики.
Для идеального газа:
$$ \lambda = \frac{k_B T}{\sqrt{2} \pi d^2 p} $$
Это выражение — одно из краеугольных в кинетической теории газов, связывающее микроуровень (размер молекул) и макроуровень (температура и давление) описания. Оно лежит в основе объяснения множества явлений в термодинамике и физике газов.