Группы симметрии в статистической механике и термодинамике
Симметрия — фундаментальное понятие, лежащее в основе формулировки физических законов. В статистической механике симметрии связаны с инвариантностью гамильтониана или функции распределения относительно некоторых преобразований, образующих математическую группу. Применение теории групп в статистической механике позволяет систематизировать свойства состояний системы, упростить вычисления и получить универсальные результаты, не зависящие от конкретных микроскопических деталей.
Наиболее важную роль играют непрерывные и дискретные симметрии. К первым относятся, например, пространственные и временные трансляции, вращения, а также симметрии калибровки; ко вторым — инверсии, отражения, перестановки и т. д.
Пусть дана классическая или квантовая система, описываемая гамильтонианом $H$. Предположим, что существует группа преобразований $G$, элементы которой $g \in G$ оставляют $H$ инвариантным:
$$ H(gx) = H(x) $$
где $x$ — точка в фазовом пространстве или вектора состояния. В этом случае можно утверждать, что функция распределения Гиббса
$$ \rho(x) = \frac{1}{Z} e^{-\beta H(x)} $$
также инвариантна относительно преобразований из $G$. Это означает, что вероятности микросостояний, связанных элементами группы $G$, совпадают. Именно поэтому теория групп становится мощным инструментом в классификации состояний и упрощении вычислений.
В квантовой статистике широко применяется разложение состояния системы по базису, соответствующему неприводимым представлениям группы симметрии. Пусть $\hat{U}(g)$ — унитарное представление группы симметрии $G$, действующее на гильбертовом пространстве $\mathcal{H}$. Если гамильтониан коммутирует с $\hat{U}(g)$ для всех $g \in G$, то можно выбрать базис состояний, в котором $\hat{H}$ диагонален и одновременно диагонализуем с представлениями $G$.
Согласно теореме Шура, при этом гильбертово пространство распадается на прямую сумму подпространств, реализующих неприводимые представления:
$$ \mathcal{H} = \bigoplus\alpha \mathcal{H}\alpha \otimes \mathbb{C}^{d_\alpha} $$
где $\alpha$ — метка неприводимого представления, а $d_\alpha$ — его размерность. Это существенно упрощает вычисление термодинамических величин, поскольку позволяет свести задачу к работе с подпространствами фиксированной симметрии.
Один из важнейших примеров симметрии — симметрия перестановок идентичных частиц. Группа перестановок $S_N$ играет центральную роль в определении статистических свойств бозонов и фермионов. Волновая функция $\Psi(x_1, x_2, \ldots, x_N)$ должна быть либо симметрична (для бозонов), либо антисимметрична (для фермионов) относительно перестановок:
$$ \Psi(Px_1, Px_2, \ldots, Px_N) = \begin{cases} \Psi(x_1, \ldots, x_N), & \text{бозоны} \ \text{sgn}(P) \Psi(x_1, \ldots, x_N), & \text{фермионы} \end{cases} $$
Группа $S_N$ обладает сложной структурой и множеством неприводимых представлений, однако физические реализации ограничиваются лишь двумя из них — полностью симметричным и полностью антисимметричным. Это связано с фундаментальной необходимостью удовлетворения принципа тождественности и спин-статистического соотношения.
Симметрия играет ключевую роль в описании фазовых переходов. Согласно Ландау, фазовый переход сопровождается спонтанным нарушением симметрии: симметрия гамильтониана сохраняется, но состояние системы (например, среднее значение порядка) эту симметрию нарушает.
Пусть симметрия описывается группой $G$, а в симметричной фазе среднее значение порядка $\langle \phi \rangle = 0$. В нарушенной фазе $\langle \phi \rangle \neq 0$, но существует подгруппа $H \subset G$, оставляющая порядок инвариантным. Тогда множество вырожденных состояний можно отождествить с фактор-пространством $G/H$, называемым многообразием вырождения.
Пример: при переходе Парамагнетик → Ферромагнетик группа вращений $SO(3)$ нарушается до $SO(2)$, и вырожденные состояния характеризуются направлением вектора на сфере $S^2$.
Это описание естественным образом приводит к применению топологических инвариантов, таких как гомотопические группы, для классификации возможных дефектов — доменных стенок, вихрей и т. д.
В статистической механике часто необходимо вычислить интегралы по фазовому пространству или по пространству конфигураций, инвариантные относительно группы симметрии. При наличии симметрии эти интегралы можно упростить, сократив размерность интегрирования до фундаментальной области. В частности, при наличии непрерывной группы $G$, имеющей инвариантную меру (меру Хаара), справедливо:
$$ \int_G f(gx) \, dg = \int_G f(x) \, dg = \text{const} \cdot f(x) $$
Это используется при вычислении интегралов вида:
$$ Z = \int e^{-\beta H(x)} \, dx $$
если $H(x)$ инвариантен относительно $G$, и позволяет заменить $dx$ на $dx/G$, где последнее обозначает интегрирование по фактор-пространству.
Непрерывные симметрии, описываемые группами Ли, особенно важны в системах с калибровочной или релятивистской инвариантностью. Их алгебра Ли — множество генераторов симметрий, удовлетворяющее определённым коммутационным соотношениям. Например, генераторы вращений в 3D пространстве удовлетворяют:
$$ [J_i, Jj] = i \hbar \varepsilon{ijk} J_k $$
При наличии таких симметрий сохраняются соответствующие заряды (по теореме Нётер). В термодинамике это приводит к ограничениям на форму допустимых состояний и распределений. Например, в изотропной системе тензор корреляций должен быть инвариантен относительно вращений, что приводит к выражению:
$$ \langle A_i Aj \rangle \propto \delta{ij} $$
Таким образом, группа Ли определяет допустимую структуру наблюдаемых величин и позволяет классифицировать флуктуации.
В статистической механике ключевой величиной является энтропия, определяемая через число доступных микросостояний:
$$ S = k_B \ln \Omega $$
При наличии симметрии множество микросостояний распадается на орбиты действия группы $G$. Если система обладает высокой симметрией, то число независимых микросостояний снижается, поскольку многие состояния физически неразличимы. В результате симметрия приводит к уменьшению энтропии при заданной энергии.
С другой стороны, нарушение симметрии (например, при фазовом переходе) расширяет множество доступных макросостояний, что приводит к скачку или изменению наклона энтропийной кривой — характерному признаку фазового перехода второго рода.
Теория групп входит в ренормгрупповой подход к критическим явлениям. В окрестности критической точки наблюдается масштабная инвариантность — система выглядит одинаково на разных масштабах. Это означает, что действия ренормгруппы, изменяющей масштаб, оставляют законы системы инвариантными.
Ренормгруппа — это группа преобразований параметров системы (постоянных связи, температур и др.), под действием которых система «течёт» в пространстве параметров. Фиксированные точки этого потока описывают универсальные классы критического поведения, зависящие лишь от размерности пространства и симметрии порядка.
Такой подход объясняет, почему столь разные по микроскопическому устройству системы (например, ферромагнетики, жидкости, сверхтекучие гелии) могут принадлежать к одному классу универсальности.
Применение теории групп в статистической механике выходит далеко за рамки формальной симметрии. Она пронизывает структуру микросостояний, законы распределения, форму макроскопических уравнений и поведение системы при критических явлениях. Симметрия и её нарушения — не только инструмент анализа, но и источник физических эффектов, определяющих поведение материи.