В статистической механике теория возмущений применяется для описания поведения системы, находящейся вблизи состояния равновесия, когда на неё наложены малые внешние воздействия. Центральная идея состоит в том, чтобы рассматривать взаимодействие между частицами или влияние внешнего поля как малое отклонение от идеализованной модели (например, идеального газа), решение для которой известно точно.
Рассматривается гамильтониан системы в виде разложения:
$$ \mathcal{H} = \mathcal{H}_0 + \lambda \mathcal{H}_1, $$
где - $\mathcal{H}_0$ — невозмущённый (известный) гамильтониан, - $\mathcal{H}_1$ — оператор возмущения, - $\lambda \ll 1$ — малый параметр.
Параметр $\lambda$ служит формальным инструментом для организации вычислений в виде степенного ряда. В результате можно разложить функции распределения, термодинамические потенциалы и корреляционные функции в ряды по $\lambda$, что позволяет учесть эффекты слабого взаимодействия.
Ключевым объектом статистической механики является статистическая сумма:
$$ Z = \mathrm{Tr}\left(e^{-\beta \mathcal{H}}\right), $$
где $\beta = \frac{1}{k_B T}$ — обратная температура. При использовании возмущения разложим экспоненту через операторный разложенный экспоненциальный ряд:
$$ e^{-\beta(\mathcal{H}_0 + \lambda \mathcal{H}_1)} = e^{-\beta \mathcal{H}_0} \left[1 - \lambda \int_0^\beta d\tau \, \mathcal{H}_1(\tau) + \frac{\lambda^2}{2!} \int_0^\beta d\tau_1 \int_0^\beta d\tau2 \, \mathcal{T}\tau \mathcal{H}_1(\tau_1)\mathcal{H}_1(\tau_2) - \ldots \right], $$
где - $\mathcal{H}_1(\tau) = e^{\tau \mathcal{H}_0} \mathcal{H}_1 e^{-\tau \mathcal{H}0}$ — оператор в представлении взаимодействия, - $\mathcal{T}\tau$ — оператор термического упорядочения.
Таким образом, статистическая сумма представляется в виде:
$$ Z = Z_0 \left[1 - \lambda \langle \mathcal{H}_1 \rangle0 + \frac{\lambda^2}{2!} \left(\langle \mathcal{T}\tau \mathcal{H}_1(\tau_1)\mathcal{H}_1(\tau_2) \rangle_0 - \langle \mathcal{H}_1 \rangle_0^2 \right) + \ldots \right], $$
где $Z_0 = \mathrm{Tr}(e^{-\beta \mathcal{H}_0})$, а угловые скобки $\langle \cdot \rangle_0$ обозначают усреднение по невозмущённому распределению.
Логарифм статистической суммы связан со свободной энергией:
$$ F = -k_B T \ln Z. $$
Следовательно, разложение $Z$ позволяет получить поправки к свободной энергии:
$$ F = F_0 + \lambda F^{(1)} + \lambda^2 F^{(2)} + \ldots, $$
где - $F_0 = -k_B T \ln Z_0$, - $F^{(1)} = \langle \mathcal{H}_1 \rangle_0$, - $F^{(2)} = -\frac{1}{2kB T} \left( \langle \mathcal{T}\tau \mathcal{H}_1(\tau_1)\mathcal{H}_1(\tau_2) \rangle_0 - \langle \mathcal{H}_1 \rangle_0^2 \right)$.
Данное выражение аналогично второму порядку диаграммной техники и подчиняется общим законам флуктуаций и корреляций.
Пусть система частиц взаимодействует парным потенциалом $V(\mathbf{r}_i - \mathbf{r}_j)$. Тогда гамильтониан:
$$ \mathcal{H} = \sum_i \frac{pi^2}{2m} + \frac{1}{2} \sum{i \neq j} V(\mathbf{r}_i - \mathbf{r}_j), $$
можно представить как $\mathcal{H}_0 + \lambda \mathcal{H}_1$, где $\mathcal{H}_0$ — кинетическая энергия невзаимодействующих частиц, а $\mathcal{H}_1$ — потенциальная энергия взаимодействия. Возмущение позволяет получать поправки к уравнению состояния, свободной энергии и функции распределения.
Для невзаимодействующего ферми-газа известны точные выражения для плотности состояний, энергии и энтропии. Возмущения (например, кулоновские взаимодействия) учитываются с помощью диаграммной техники Фейнмана и функций Грина. Теория возмущений здесь тесно связана с квантовым полем и используется в рамках формализма вторичного квантования.
Теория возмущений лежит в основе линейной теории отклика, которая описывает, как система отвечает на внешнее малое возмущающее воздействие (например, прикладываемое электрическое или магнитное поле).
Пусть возмущение имеет вид:
$$ \mathcal{H}_1(t) = -A \cdot f(t), $$
где $A$ — оператор, сопряжённый с внешним параметром $f(t)$. Тогда изменение среднего значения наблюдаемой $B$ описывается линейным откликом:
$$ \delta \langle B(t) \rangle = \int{-\infty}^{t} dt' \, \chi{BA}(t - t') f(t'), $$
где $\chi_{BA}(t - t')$ — функция отклика:
$$ \chi_{BA}(t - t') = \frac{i}{\hbar} \theta(t - t') \langle [B(t), A(t')] \rangle_0. $$
В стационарном режиме (в частотной области) поведение описывается через преобразование Фурье, и функция отклика напрямую связана со спектральной функцией.
Для квантовых систем удобным инструментом является метод функций Грина. Возмущение порождает поправки к полной функции Грина:
$$ G = G_0 + G_0 \Sigma G, $$
где - $G_0$ — невозмущённая функция Грина, - $\Sigma$ — самосогласованная масса (самоэнергия), - $G$ — полная функция.
Каждый порядок разложения по $\lambda$ соответствует определённым диаграммам в теории Фейнмана. Эти диаграммы учитывают обмен частицами, взаимодействия, петли и виртуальные состояния.
Формулы Кюбо позволяют связать линейный отклик с равновесными флуктуациями. Центральная формула:
$$ \chi_{BA}(\omega) = \frac{1}{i\hbar} \int_0^\infty dt \, e^{i\omega t} \langle [B(t), A(0)] \rangle. $$
Это выражение означает, что поведение системы вне равновесия (её отклик) полностью определяется равновесными корреляциями — фундаментальный результат теории возмущений в статистике.
На более высоких порядках теория возмущений требует регуляризации и перенормировки. Взаимодействия могут вызывать расходимости, особенно в квантовых системах на малых расстояниях или высоких энергиях. Методы перенормировки позволяют устранять такие расходимости, сохраняя физически наблюдаемые величины конечными.
Важную роль играет также теория ренормализационной группы, описывающая, как поведение системы меняется при масштабировании длины или энергии. Она используется, например, при анализе критических явлений и фазовых переходов.
Теория возмущений работает только в случае малого параметра $\lambda$ — слабых взаимодействий. При сильных взаимодействиях, вблизи фазовых переходов или при наличии долгоживущих корреляций возмущения становятся неупорядоченными, и метод теряет применимость. В таких случаях используют нелинейные методы, вариационные подходы, численные симуляции (например, Монте-Карло) и теорию функционалов плотности.
Тем не менее, в широком классе задач — от слабой ионизации плазмы до свойств электронного газа в металлах — теория возмущений даёт точные и проверенные результаты.