Кривизна пространства-времени и термодинамика
В условиях сильных гравитационных полей, таких как вблизи нейтронных звёзд, чёрных дыр или в ранней Вселенной, классическая термодинамика требует существенного пересмотра. Основные понятия — температура, энтропия, энергия — приобретают иной физический смысл в искривлённом пространстве-времени, подчиняющемся уравнениям общей теории относительности. Эти явления рассматриваются в рамках релятивистской термодинамики и квантовой теории поля на криволинейном фоне, где объединяются понятия термодинамики, гравитации и квантовой физики.
Гравитационный красный сдвиг температуры
В сильных гравитационных полях температура становится функцией координат. Пусть наблюдатель неподвижен в статической метрике Шварцшильда или аналогичной. Тогда температура, измеряемая локальным термометром, связана с "удалённой" температурой (в бесконечности) через:
$$ T(r) \sqrt{g_{00}(r)} = \text{const} $$
где $g_{00}(r)$ — компонент метрики, связанный с гравитационным потенциалом. Это выражение отражает гравитационный красный сдвиг температуры: чем ближе к массивному телу, тем выше локальная температура при фиксированной температуре на бесконечности. Пример — равновесие фотонного газа вблизи чёрной дыры: наблюдатель у горизонта регистрирует бесконечно высокую температуру, тогда как удалённый наблюдатель видит конечное значение.
Обобщение первого начала термодинамики
В искривлённом пространстве-времени первый закон термодинамики принимает форму:
$$ dE = T dS - P dV + \mu dN + \ldots $$
где $E$ — энергия, определяемая через тензор энергии-импульса и Killing-вектор в статических системах. Однако в гравитационном поле сама энергия теряет универсальность: например, энергия гравитационного поля не является локализуемой величиной. Поэтому в термодинамике, связанной с гравитацией, особое значение приобретает масса Арнова, энергия Толмена и аналогичные квазилокальные характеристики.
Энтропия горизонта и законы термодинамики чёрных дыр
Классическая механика чёрных дыр в рамках общей теории относительности, вкупе с квантовыми эффектами, приводит к формулировке термодинамики чёрных дыр. Основные законы имеют точные аналоги с законами обычной термодинамики:
$$ dM = \frac{\kappa}{8\pi G} dA + \Omega dJ + \Phi dQ $$
где $M$ — масса чёрной дыры, $A$ — площадь горизонта, $J$ — угловой момент, $Q$ — заряд. Это аналог первого закона термодинамики.
Важнейший результат — энтропия Бекенштейна-Хокинга:
$$ S = \frac{k_B c^3 A}{4 G \hbar} $$
где $A$ — площадь горизонта событий, $\hbar$ — постоянная Планка. Эта формула объединяет гравитацию, квантовую механику и термодинамику.
Излучение Хокинга и термальный спектр
Квантовое излучение, предсказанное Стивеном Хокингом, возникает за счёт квантовых флуктуаций вблизи горизонта событий. Результат — чёрные дыры не являются абсолютно чёрными: они излучают как абсолютно чёрное тело с температурой:
$$ T_H = \frac{\hbar c^3}{8\pi G M k_B} $$
Это излучение приводит к убыванию массы чёрной дыры — испарению, сопровождающемуся потерей энергии и уменьшением энтропии. Тем не менее, общая энтропия системы (включающая энтропию излучения) не убывает, что сохраняет второй закон термодинамики.
Термодинамика в космологических моделях
Во Вселенной Фридмана-Леметра-Робертсона-Уокера (FLRW), которая описывает однородное и изотропное пространство, термодинамические параметры эволюционируют с космологическим временем. Энергия и температура подчиняются:
$$ \dot{\rho} + 3H(\rho + P) = 0 $$
где $\rho$ — плотность энергии, $P$ — давление, $H$ — параметр Хаббла. Это — выражение закона сохранения энергии на фоне расширяющегося пространства. Важно отметить, что энтропия в комовском объёме остаётся постоянной в адиабатическом расширении:
$$ S \propto a^3 s = \text{const} $$
где $s$ — плотность энтропии, $a$ — масштабный фактор.
Термодинамика де Ситтера и анти-де Ситтера
Пространство-де Ситтера (с положительной космологической постоянной) обладает космологическим горизонтом, аналогичным горизонту чёрной дыры, с собственной температурой и энтропией:
$$ T_{dS} = \frac{\hbar H}{2\pi kB}, \quad S{dS} = \frac{k_B c^3 A}{4G\hbar} $$
Это указывает на наличие фундаментальных термодинамических свойств даже у чисто геометрических решений уравнений Эйнштейна.
В пространстве анти-де Ситтера (AdS), напротив, чёрные дыры могут находиться в устойчивом термодинамическом равновесии. Эти особенности лежат в основе теории AdS/CFT, где гравитационные и термодинамические явления в объёме (в AdS) соответствуют квантовой термодинамике на границе.
Принцип холономии и обобщение энтропии
Обнаруженная связь между площадью горизонта и энтропией стимулировала развитие голографического принципа, согласно которому количество информации, хранимой в данном объёме, пропорционально площади его границы, а не объёму. Это кардинально отличает термодинамику гравитационных систем от классической статистической физики.
В рамках этой идеи, энтропия $S$ любой замкнутой области пространства не может превышать:
$$ S \leq \frac{k_B c^3 A}{4 G \hbar} $$
что ограничивает количество возможных микросостояний внутри любой области пространства.
Флуктуации и нестабильности в гравитирующих системах
Гравитирующие системы обладают нетривиальной термодинамикой: они могут демонстрировать отрицательную теплоёмкость, самопроизвольные коллапсы и неустойчивость равновесного состояния. Например, система гравитирующих частиц может уменьшать энтропию при добавлении энергии — парадокс, невозможный в обычных термодинамических системах. Это проявление фундаментального свойства гравитационного взаимодействия — его долгодействия и универсальности.
Квантовая гравитация и статистическая интерпретация энтропии горизонта
Остаётся открытым вопрос: какова микроскопическая природа энтропии горизонта? В теории струн, петлевой квантовой гравитации и других подходах к квантовой гравитации предлагались модели, в которых энтропия горизонта интерпретируется как логарифм числа микросостояний, согласующихся с заданными макроскопическими параметрами чёрной дыры. Эти попытки обеспечивают мост между геометрией, квантовой механикой и термодинамикой.
Закономерности и универсальные соотношения
Фундаментальные соотношения между температурой, ускорением и энтропией (например, эффект Унру) показывают, что термодинамика и гравитация, возможно, не просто связаны — одна может быть фундаментальным проявлением другой. В частности, предложено, что уравнения Эйнштейна могут быть выведены как следствие второго закона термодинамики, применённого к горизонту. Эти идеи указывают на глубокое термодинамическое основание самой геометрии пространства-времени.