Цикл Карно и его свойства

Определение цикла Карно

Цикл Карно — это идеализированный термодинамический цикл, состоящий из двух изотермических и двух адиабатических процессов, совершаемых между двумя тепловыми резервуарами с температурами $T_1$ (высшая температура) и $T_2$ (низшая температура), где $T_1 > T_2$. Цикл служит эталоном эффективности для всех тепловых машин и демонстрирует фундаментальные ограничения, накладываемые Вторым законом термодинамики.

Структура цикла

Цикл Карно включает следующие четыре обратимых процесса, совершаемых идеальным газом в поршневом цилиндре:

  1. Изотермическое расширение (1→2) Газ контактирует с горячим резервуаром при температуре $T_1$, получая от него тепло $Q_1$. Давление уменьшается, объем увеличивается, внутренняя энергия не изменяется, а вся полученная энергия переходит в работу:

$$ Q1 = A{1 \to 2} = nRT_1 \ln \frac{V_2}{V_1} $$

  1. Адиабатическое расширение (2→3) Система изолирована, теплообмен отсутствует ($Q = 0$). Газ продолжает расширяться за счёт собственной внутренней энергии, температура понижается от $T_1$ до $T_2$:

$$ TV^{\gamma - 1} = \text{const} \Rightarrow T_1 V_2^{\gamma - 1} = T_2 V_3^{\gamma - 1} $$

  1. Изотермическое сжатие (3→4) Газ контактирует с холодным резервуаром при температуре $T_2$, отдавая ему тепло $Q_2$. Объём уменьшается, давление растёт. Поступающая работа частично отнимается у газа, а остальное — теряется в виде тепла:

$$ Q2 = -A{3 \to 4} = nRT_2 \ln \frac{V_4}{V_3} $$

  1. Адиабатическое сжатие (4→1) Система снова изолирована, тепло не поступает и не уходит. Температура повышается от $T_2$ до $T_1$, объём уменьшается:

$$ TV^{\gamma - 1} = \text{const} \Rightarrow T_2 V_4^{\gamma - 1} = T_1 V_1^{\gamma - 1} $$

Работа за цикл и тепловой КПД

Полная работа за цикл равна разности между полученным и отданным теплом:

$$ A_{\text{цикла}} = Q_1 - |Q_2| $$

Тепловой коэффициент полезного действия (КПД) цикла Карно:

$$ \eta = \frac{A_{\text{цикла}}}{Q_1} = 1 - \frac{Q_2}{Q_1} $$

С учётом обратимости всех процессов и выражений для изотермических участков, получим:

$$ \frac{Q_2}{Q_1} = \frac{T_2}{T_1} \Rightarrow \eta = 1 - \frac{T_2}{T_1} $$

Свойства и особенности цикла Карно

  • Максимально возможный КПД: Ни одна реальная тепловая машина, работающая между двумя заданными температурами $T_1$ и $T_2$, не может иметь КПД выше, чем у цикла Карно:

    $$ \eta{\text{реальной}} \leq \eta{\text{Карно}} = 1 - \frac{T_2}{T_1} $$

  • Обратимость: Цикл Карно полностью обратим. При изменении направления всех процессов он превращается в холодильную машину или тепловой насос, переносящую тепло от холодного тела к горячему с затратой работы.

  • Эталонный характер: Цикл Карно не зависит от свойств рабочего тела, а определяется только температурами резервуаров. Это делает его универсальной моделью для теоретического анализа тепловых процессов.

  • Недостижимость в практике: Цикл Карно требует обратимых процессов (бесконечно медленных, без трения, теплопередачи с нулевой разностью температур), что делает его нереализуемым в реальных условиях. Однако он служит теоретическим пределом, к которому стремятся все реальные машины.

Цикл Карно как холодильная машина

При обращении всех процессов цикла Карно он может работать как холодильная установка. В этом случае рабочее тело поглощает тепло $Q_2$ от холодного резервуара при температуре $T_2$, получает работу $A$ извне и отдаёт тепло $Q_1$ горячему резервуару при температуре $T_1$.

Холодильный коэффициент (коэффициент производительности):

$$ \varepsilon = \frac{Q_2}{A} = \frac{T_2}{T_1 - T_2} $$

Для теплового насоса:

$$ \varepsilon = \frac{Q_1}{A} = \frac{T_1}{T_1 - T_2} $$

Графическое представление цикла

  • В координатах $p$-$V$: Изотермы — кривые, асимптотически стремящиеся к осям. Адиабаты — более крутые кривые, пересекающие изотермы. Замкнутый цикл — выпуклая фигура, ограничивающая площадь, равную полезной работе.

  • В координатах $T$-$S$: Изотермические процессы отображаются горизонтальными прямыми (температура постоянна), адиабатические — вертикальными (энтропия постоянна). Цикл представляет собой прямоугольник, а его площадь равна работе.

Фундаментальные следствия из анализа цикла Карно

  1. Второй закон термодинамики (постановка Клаузиуса): Невозможно процесс, единственным результатом которого было бы передача тепла от холодного тела к горячему без затрат работы.

  2. Неравенство Клаузиуса: Для любого циклического процесса с необратимостями справедливо:

    $$ \oint \frac{\delta Q}{T} \leq 0 $$

    Равенство достигается только в случае обратимого цикла, как в цикле Карно.

  3. Абсолютная температурная шкала: На основе КПД цикла Карно можно определить температуру тела без использования конкретного рабочего тела. Абсолютная температура определяется через отношение теплоты, переданной при обратимом процессе:

    $$ \frac{Q_1}{Q_2} = \frac{T_1}{T_2} $$

Термодинамический идеал: почему цикл Карно важен

Цикл Карно задаёт теоретический предел для всех тепловых машин. Он позволяет оценивать эффективность реальных циклов и машин (циклы Отто, Дизеля, Ренкина, Стирлинга и др.), выступая в роли эталона. Всякий раз, когда происходит необратимость — трение, теплообмен с конечной температурной разностью, диссипация — КПД становится ниже. Чем ближе реальный процесс к идеалу Карно, тем выше его эффективность.

Цикл Карно не только демонстрирует границу возможного, но и позволяет количественно связать эффективность термодинамических преобразований с фундаментальными свойствами — температурой, теплотой и энтропией.

Оглавление