Уравнения состояния идеального газа

Основные уравнения состояния идеального газа

Понятие идеального газа и его допущения

Идеальный газ — это теоретическая модель газа, в которой взаимодействие между частицами сводится к минимуму. В рамках классической термодинамики и молекулярно-кинетической теории считается, что молекулы идеального газа:

  • имеют пренебрежимо малые размеры по сравнению с расстоянием между ними;
  • не взаимодействуют друг с другом (кроме упругих столкновений);
  • движутся хаотично и подчиняются законам классической механики;
  • подчиняются законам сохранения импульса и энергии при столкновениях.

Эта модель хорошо описывает поведение разреженных газов при умеренных давлениях и высоких температурах. На основании этих допущений выводятся уравнения состояния, связывающие макроскопические параметры системы — давление, объем и температуру.

Уравнение Менделеева – Клапейрона

Основное уравнение состояния идеального газа в макроскопическом виде имеет следующий вид:

$$ pV = nRT $$

где:

  • $p$ — давление газа,
  • $V$ — объем, занимаемый газом,
  • $n$ — количество вещества (в молях),
  • $R$ — универсальная газовая постоянная, $R = 8{,}314 \, \text{Дж/(моль·К)}$,
  • $T$ — абсолютная температура в кельвинах.

Это уравнение было независимо получено Д. И. Менделеевым и Э. Клапейроном и представляет собой обобщение экспериментальных законов Бойля-Мариотта, Гей-Люссака и Шарля.

Молекулярно-кинетическая форма уравнения состояния

Если перейти от количества вещества $n$ к числу молекул $N$, используя соотношение $n = \frac{N}{N_A}$, где $N_A$ — число Авогадро, то уравнение состояния принимает вид:

$$ pV = NkT $$

где:

  • $k = \frac{R}{N_A} \approx 1{,}38 \cdot 10^{-23} \, \text{Дж/К}$ — постоянная Больцмана.

Данная форма уравнения напрямую связывает давление, объем, температуру и число микрочастиц в системе и широко используется в молекулярно-кинетической теории.

Вывод уравнения состояния из молекулярно-кинетической теории

Рассмотрим однородную систему, содержащую $N$ молекул массы $m$, находящихся в объеме $V$ и сталкивающихся со стенками сосуда. В результате анализа импульса, передаваемого молекулами при упругих столкновениях, получается выражение для давления:

$$ p = \frac{1}{3} mn \overline{v^2} $$

где:

  • $n = \frac{N}{V}$ — концентрация молекул,
  • $\overline{v^2}$ — среднеквадратичная скорость молекул.

Поскольку средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы равна:

$$ \overline{E_k} = \frac{1}{2}m \overline{v^2} $$

а с другой стороны, по молекулярно-кинетической теории:

$$ \overline{E_k} = \frac{3}{2}kT $$

получаем связь давления и температуры:

$$ p = nkT \quad \Rightarrow \quad pV = NkT $$

что согласуется с уравнением состояния идеального газа.

Дифференциальная форма уравнения состояния

Для удобства анализа процессов, в которых происходят малые изменения состояния, полезна дифференциальная форма уравнения состояния:

$$ d(pV) = d(nRT) $$

Если $R$ и $n$ постоянны, то:

$$ pdV + Vdp = nRdT $$

Эта форма уравнения широко используется при выводе соотношений между теплотой, работой и изменением внутренней энергии газа.

Изобарные, изохорные и изотермические зависимости

Из уравнения состояния легко выводятся зависимости между параметрами при различных простых термодинамических процессах:

  1. Изотермический процесс ( $T = \text{const}$ ):

    $$ pV = \text{const} \quad \Rightarrow \quad p \sim \frac{1}{V} $$

    — закон Бойля-Мариотта.

  2. Изохорный процесс ( $V = \text{const}$ ):

    $$ \frac{p}{T} = \text{const} \quad \Rightarrow \quad p \sim T $$

    — закон Гей-Люссака.

  3. Изобарный процесс ( $p = \text{const}$ ):

    $$ \frac{V}{T} = \text{const} \quad \Rightarrow \quad V \sim T $$

    — закон Шарля.

Каждый из этих законов представляет собой частный случай общего уравнения состояния.

Уравнение состояния в удельных величинах

Иногда удобно использовать удельные (на единицу массы) величины. В этом случае уравнение состояния принимает вид:

$$ p = \rho R_{\text{уд}} T $$

где:

  • $\rho = \frac{m}{V}$ — плотность газа,
  • $R_{\text{уд}} = \frac{R}{\mu}$ — удельная газовая постоянная,
  • $\mu$ — молярная масса газа.

Такой вид уравнения широко используется в инженерной термодинамике и аэродинамике.

Обобщённое уравнение состояния

Для совокупности $i$ различных идеальных газов (например, в смеси) можно записать:

$$ pV = \sum_i n_i R T $$

где $n_i$ — количество молей $i$-го компонента. Такое уравнение используется при описании смесей идеальных газов, например, в задачах газовой динамики атмосферы или при работе с дыхательными смесями.

Графическая интерпретация уравнения состояния

Графическое представление уравнения состояния осуществляется в виде:

  • изотерм в координатах $pV$ — гиперболы,
  • изобар в координатах $VT$ — прямые,
  • изохор в координатах $pT$ — также прямые.

Построение таких графиков даёт наглядное представление о характере изменения параметров системы при термодинамических переходах.

Применение и ограничения

Хотя уравнение состояния идеального газа является фундаментальным и широко используемым, его применение ограничено рядом условий:

  • давление не должно быть слишком высоким,
  • температура — не слишком низкой,
  • межмолекулярное взаимодействие должно быть пренебрежимо мало,
  • объем частиц — мал по сравнению с объемом сосуда.

При отклонении от этих условий используются более сложные модели (например, уравнение Ван-дер-Ваальса).

Тем не менее, уравнение состояния идеального газа остаётся краеугольным камнем термодинамики и играет важнейшую роль как в теоретических расчетах, так и в практических инженерных задачах.

Оглавление