Молекулярно-кинетическая основа явлений переноса
Явления переноса в газах — это процессы переноса импульса, массы и энергии, происходящие в результате хаотического движения молекул. Они лежат в основе таких макроскопических явлений, как вязкость, теплопроводность и диффузия. Эти процессы подчиняются законам, вытекающим из статистической механики, и описываются в рамках кинетической теории газов.
Каждая частица газа между столкновениями движется по инерции, сохраняя энергию и импульс, но при столкновениях обменивается этими величинами с другими частицами. Именно эта передача физических величин от одного слоя газа к другому и формирует наблюдаемые макроскопические потоки.
Молекулярное описание вязкости
Вязкость — это внутреннее трение, возникающее в газе при наличии градиента скорости. Рассмотрим ламинарное течение газа вдоль оси $x$, при котором скорость молекул зависит от координаты $y$: $v_x = v_x(y)$. Тогда слои газа, находящиеся на разных расстояниях по оси $y$, имеют различные скорости, и молекулы, переходящие между ними, переносят импульс.
Средняя сила трения между слоями определяется как поток импульса по направлению $y$, пропорциональный градиенту скорости:
$$ \tau_{xy} = -\eta \frac{dv_x}{dy} $$
где $\tau_{xy}$ — касательное напряжение, $\eta$ — коэффициент вязкости, $\frac{dv_x}{dy}$ — градиент скорости.
Согласно кинетической теории, коэффициент вязкости в разреженном газе можно выразить через параметры молекул:
$$ \eta = \frac{1}{3} \rho \bar{v} \lambda $$
где $\rho$ — плотность газа, $\bar{v}$ — средняя тепловая скорость молекул, $\lambda$ — средняя длина свободного пробега.
Отсюда видно, что вязкость пропорциональна $\sqrt{T}$, поскольку $\bar{v} \sim \sqrt{T}$, а $\lambda \sim \frac{1}{n\sigma} \sim \frac{T}{P}$ при постоянном давлении.
Теплопроводность в газах
Теплопроводность описывает перенос энергии между слоями газа при наличии градиента температуры. Если температура зависит от координаты $y$, то молекулы, перемещающиеся между различными слоями, переносят с собой кинетическую энергию, создавая поток тепла.
Плотность теплового потока определяется законом Фурье:
$$ q_y = -\kappa \frac{dT}{dy} $$
где $\kappa$ — коэффициент теплопроводности.
Согласно кинетической теории:
$$ \kappa = \frac{1}{3} C_v \rho \bar{v} \lambda $$
Здесь $C_v$ — удельная теплоёмкость при постоянном объёме. Для одноатомного идеального газа:
$$ C_v = \frac{3}{2} k $$
Таким образом, как и вязкость, теплопроводность газа пропорциональна $\sqrt{T}$. Примечательно, что отношение $\frac{\kappa}{\eta}$ не зависит от давления и температуры и характеризует газовую систему:
$$ \frac{\kappa}{\eta} = \frac{C_v}{k} $$
Молекулярный механизм диффузии
Диффузия — это перенос массы (или молекул) в газе, обусловленный градиентом концентрации. В системе, где концентрация молекул $n$ зависит от координаты $x$, молекулы стремятся выровнять свою концентрацию, переносясь из областей с большей концентрацией в области с меньшей.
Плотность диффузионного потока описывается законом Фика:
$$ j_x = -D \frac{dn}{dx} $$
где $j_x$ — поток частиц, $D$ — коэффициент диффузии.
Согласно кинетической теории, коэффициент самодиффузии выражается как:
$$ D = \frac{1}{3} \bar{v} \lambda $$
Аналогично предыдущим коэффициентам, $D \sim \frac{T^{3/2}}{P}$ при фиксированном составе газа. Диффузия, в отличие от теплопроводности и вязкости, зависит от давления.
Связь между коэффициентами переноса
Явления переноса — вязкость, теплопроводность и диффузия — описываются схожими по структуре выражениями, зависящими от длины свободного пробега и средней скорости молекул. Их можно объединить в следующую таблицу:
| Процесс | Закон | Коэффициент | Формула |
|---|---|---|---|
| Вязкость | $\tau = -\eta \frac{dv}{dy}$ | $\eta = \frac{1}{3} \rho \bar{v} \lambda$ | Внутреннее трение |
| Теплопроводность | $q = -\kappa \frac{dT}{dy}$ | $\kappa = \frac{1}{3} C_v \rho \bar{v} \lambda$ | Перенос энергии |
| Диффузия | $j = -D \frac{dn}{dx}$ | $D = \frac{1}{3} \bar{v} \lambda$ | Перенос массы (частиц) |
Эти аналогии отражают фундаментальное единство природы процессов переноса в газах.
Зависимость коэффициентов переноса от параметров газа
Коэффициенты переноса зависят от макроскопических параметров газа:
Перенос в смесях газов
Если рассматривать смесь газов, возникает необходимость учитывать диффузию каждого компонента. Перенос вещества сопровождается и переносом энергии, что требует введения так называемых «смешанных» коэффициентов переноса, особенно в случае газов с сильно различающимися молекулярными массами.
Закон Фика для бинарной смеси принимает вид:
$$ ji = -D{ij} \nabla n_i $$
где $D_{ij}$ — коэффициент взаимной диффузии компонентов $i$ и $j$. Такие коэффициенты зависят от относительных масс, сечения столкновений и концентраций каждого компонента.
Уравнение Больцмана и обоснование законов переноса
Фундаментальное описание всех явлений переноса в газах даёт уравнение Больцмана:
$$ \frac{\partial f}{\partial t} + \vec{v} \cdot \nabla f + \vec{F} \cdot \frac{\partial f}{\partial \vec{v}} = \left( \frac{\partial f}{\partial t} \right)_{\text{столкновения}} $$
где $f(\vec{r}, \vec{v}, t)$ — функция распределения, $\vec{F}$ — внешняя сила, действующая на молекулы.
Развитие теории малых отклонений от равновесия, например, метод Чепмена–Энскога, позволяет получить явные выражения для $\eta$, $\kappa$, $D$, и описать их связь с молекулярными параметрами. Эти методы также учитывают нелинейные и нестационарные эффекты при больших градиентах.
Физический смысл длины свободного пробега
Длина свободного пробега $\lambda$ играет ключевую роль во всех явлениях переноса. Она определяется как среднее расстояние, которое проходит молекула между двумя последовательными столкновениями:
$$ \lambda = \frac{1}{\sqrt{2} \pi \sigma^2 n} $$
Здесь $\sigma$ — эффективное сечение столкновения, $n$ — концентрация молекул.
При малой $\lambda$ (высокое давление) перенос становится менее эффективным, и газ можно приближённо считать непрерывной средой. При большой $\lambda$ (разреженные газы) необходимо учитывать свободный пробег при решении задач, и возникает переход к области разреженной газовой динамики.
Число Кнудсена и его роль
Число Кнудсена определяет отношение длины свободного пробега к характерному размеру системы $L$:
$$ \text{Kn} = \frac{\lambda}{L} $$
Число Кнудсена определяет применимость тех или иных моделей переноса и влияет на пограничные условия.
Явления переноса в неидеальных и реальных газах
В реальных газах с межмолекулярным взаимодействием поведение коэффициентов переноса может отклоняться от предсказаний идеального газа. Особенно это выражено при высоких давлениях и низких температурах, где начинаются проявления эффектов сжимаемости, внутренней структуры молекул, полярности и т.п.
Тем не менее, качественная картина явлений переноса сохраняется, а количественные поправки учитываются через более точные модели межмолекулярного взаимодействия и корректные сечения столкновений.
Выводы из молекулярной теории переноса
Понимание явлений переноса в газах даёт не только возможность объяснять наблюдаемые макроскопические эффекты, но и применять их в инженерии, аэродинамике, астрофизике, теплообмене, вакуумной технике и множестве других дисциплин. Молекулярный подход позволяет строить универсальные модели, охватывающие как плотные, так и сильно разреженные газовые среды.