Формула Вайцзеккера

Полуэмпирическая формула Вайцзеккера: строение и физический смысл

Полуэмпирическая формула Вайцзеккера (или формула массы Вайцзеккера) предназначена для оценки энергии связи атомного ядра. Она основана на жидкокапельной модели ядра, в которой ядро рассматривается как капля несжимаемой ядерной жидкости. Формула отражает основные физические взаимодействия, действующие между нуклонами.

Общий вид формулы:

$$ B(A, Z) = a_v A - a_s A^{2/3} - a_c \frac{Z(Z-1)}{A^{1/3}} - a_a \frac{(A - 2Z)^2}{A} + \delta(A, Z) $$

где:

  • B(A, Z) — энергия связи ядра с массовым числом A и зарядом Z,
  • av, as, ac, aa — эмпирические коэффициенты,
  • δ(A, Z) — поправка на спаривание нуклонов.

Объёмный член avA

Этот член отражает вклад энергии связи, приходящейся на взаимодействие каждого нуклона с его ближайшими соседями. Поскольку ядерные силы короткодействующие и насыщаются, каждый нуклон взаимодействует с конечным числом соседей, и вклад в энергию связи от каждого нуклона примерно одинаков. Поэтому этот член пропорционален числу нуклонов A, а коэффициент av называется объёмным коэффициентом.

Поверхностный член −asA2/3

Нуклоны, находящиеся на поверхности ядра, имеют меньшее количество соседей, чем те, что находятся в глубине. Следовательно, их вклад в энергию связи меньше. Площадь поверхности пропорциональна A2/3, отсюда и форма члена. Коэффициент as называется поверхностным коэффициентом и является положительным, но в формуле стоит со знаком минус.

Кулоновский член $-a_c \frac{Z(Z-1)}{A^{1/3}}$

Протоны в ядре отталкиваются друг от друга в соответствии с законом Кулона. Суммарная кулоновская энергия заряженного шара пропорциональна Z(Z − 1)/R, где R ∼ A1/3 — радиус ядра. Поэтому данный член учитывает энергию электростатического отталкивания и препятствует росту энергии связи с увеличением числа протонов. Он наиболее важен для тяжелых ядер, в которых кулоновское отталкивание может превышать ядерное притяжение.

Асимметричный член $-a_a \frac{(A - 2Z)^2}{A}$

Этот член описывает влияние нарушения равенства числа протонов и нейтронов. Из-за принципа Паули нейтроны и протоны распределяются по уровням в отдельности. Максимальная энергия связи достигается при N = Z, особенно для легких ядер. При отклонении от равенства уровни заполняются несимметрично, и возрастает кинетическая энергия системы, что приводит к уменьшению полной энергии связи. Коэффициент aa называется асимметричным коэффициентом.

Член спаривания δ(A, Z)

Этот член учитывает эффект парности нуклонов:

$$ \delta(A, Z) = \begin{cases} +\delta_0, & \text{чётное } Z \text{ и чётное } N \\ 0, & \text{одно из чисел чётное, другое нечётное} \\ -\delta_0, & \text{нечётное } Z \text{ и нечётное } N \end{cases} $$

где δ0 ∝ A−3/4. Спаривание приводит к понижению энергии, так как парные нуклоны образуют более устойчивые конфигурации. В ядрах с нечётными числами нуклонов этого эффекта нет, а в случае нечётного Z и N энергия даже повышается.

Численные значения коэффициентов

Пример типичных значений для коэффициентов (в МэВ):

  • av ≈ 15.75
  • as ≈ 17.8
  • ac ≈ 0.71
  • aa ≈ 23.7
  • δ0 ≈ 34A−3/4

Эти значения подбираются по данным о массах и энергиях связи экспериментально известных ядер.

Применение формулы Вайцзеккера

1. Оценка энергии связи. Формула позволяет с высокой точностью оценить энергию связи большинства стабильных и нестабильных ядер, особенно в среднем и тяжёлом диапазоне A.

2. Определение стабильности ядер. Можно сравнивать энергии связи изобар для определения наиболее стабильной конфигурации.

3. Оценка энергии распада. Разность энергий связи до и после распада даёт энергию, выделяющуюся в процессе. Это используется при анализе бета-распадов, альфа-распадов, деления и синтеза ядер.

4. Оценка порога деления. Для тяжёлых ядер кулоновское отталкивание становится значительным, и формула позволяет оценить, при каком Z ядро становится нестабильным к делению.

Графическая интерпретация

Энергия связи на нуклон B/A как функция от A достигает максимума примерно при A ≈ 56 (железо и никель). Это объясняет, почему:

  • Слияние лёгких ядер (термоядерная реакция) сопровождается выделением энергии;
  • Деление тяжёлых ядер (например, урана) также сопровождается выделением энергии.

Таким образом, формула Вайцзеккера объясняет и количественно описывает основной энергетический источник как в звёздной термоядерной энергии, так и в ядерных реакторах.

Ограничения формулы

Хотя формула обладает большой предсказательной силой, она не учитывает:

  • Оболочечную структуру ядер;
  • Магические числа и их повышенную устойчивость;
  • Детали деформации и вибрации ядра;
  • Изотопические особенности на границах стабильности (нейтронные капли, протонная нестабильность).

Для более точного описания этих эффектов используют оболочечную модель и микроскопические методы квантовой теории поля в ядерной физике.

Формула Вайцзеккера представляет собой важнейший результат в теоретической ядерной физике, соединяющий простую модель с реальными данными и позволяющий глубоко понять фундаментальные свойства атомных ядер.

Оглавление