В квантовой механике картина Шредингера является одним из основных способов представления квантовых систем. В этой картине основным объектом является волновая функция системы, которая описывает ее состояние в каждый момент времени. Волновая функция зависит от координат и времени и является комплексной функцией. Шредингерская картина фокусируется на эволюции системы, описываемой уравнением Шредингера.
Уравнение Шредингера представляет собой дифференциальное уравнение, которое описывает, как волновая функция изменяется во времени:
$$ i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \Psi(\mathbf{r}, t) = \hat{H} \Psi(\mathbf{r}, t) $$
где:
Это уравнение играет ключевую роль в квантовой механике, так как его решение позволяет находить волновую функцию системы, а следовательно, предсказывать вероятности различных результатов измерений.
Согласно интерпретации Бора, квадрат модуля волновой функции |Ψ(r, t)|2 дает вероятность нахождения частицы в точке r в момент времени t. Это важный аспект квантовой механики, так как сама волновая функция не дает физического смысла, пока не будет интерпретирована через вероятности.
Картина Гейзенберга отличается от картины Шредингера тем, что в ней внимание сосредоточено не на волновой функции, а на операторах, которые изменяются во времени. В этой картине величины, такие как координаты и импульсы, представляют собой операторы, которые подчиняются законам квантовой механики.
В картине Гейзенберга операторы эволюционируют во времени, а состояния остаются постоянными. Эволюция оператора Â во времени описывается уравнением:
$$ \frac{d}{dt} \hat{A}(t) = \frac{i}{\hbar} [ \hat{H}, \hat{A}(t)] + \left( \frac{\partial \hat{A}}{\partial t} \right) $$
где Ĥ — оператор Гамильтона, [Ĥ, Â] — коммутатор операторов. Это уравнение описывает, как меняется оператор Â с течением времени.
Картина Гейзенберга позволяет рассматривать время как независимую переменную, в то время как в картине Шредингера время является параметром для волновой функции. Операторы в картине Гейзенберга всегда действуют на состояния, но их собственная эволюция дает полное описание системы.
В квантовой механике часто рассматриваются системы с взаимодействиями, что требует учета взаимодействующих частиц или полей. В таком случае, при переходе от одной картинки к другой (Шредингера, Гейзенберга или взаимодействующей), важно понимать, как различные операторы и состояния взаимодействуют.
Картина взаимодействия, или картина взаимодействующего представления, представляет собой промежуточное положение между картиной Шредингера и картиной Гейзенберга. В этой картине операторы эволюционируют во времени, но взаимодействие частицы с внешним полем учитывается через специальный оператор, который модифицирует Гамильтон.
Эволюция состояния системы в картине взаимодействия описывается следующим образом:
$$ \frac{d}{dt} |\psi(t)\rangle_I = -\frac{i}{\hbar} \hat{H}_I(t) |\psi(t)\rangle_I $$
где ĤI(t) — взаимодействующий Гамильтониан, который учитывает взаимодействие частиц с внешними полями или другими частицами. В картине взаимодействия состояния изменяются во времени, а операторы остаются неизменными.
Переходы между различными картинами (Шредингера, Гейзенберга и взаимодействующей) основаны на преобразованиях, которые позволяют привести описание системы из одной формы в другую. Суть преобразований заключается в том, что оператор Гамильтона можно разложить на два компонента: свободную и взаимодействующую части.
При наличии взаимодействий, например, в системе частиц с потенциалом, волновая функция изменяется согласно уравнению Шредингера. Взаимодействие через потенциал V(r) влияет на развитие волновой функции, заставляя ее эволюционировать согласно закону:
$$ i\hbar \frac{\partial \Psi(\mathbf{r}, t)}{\partial t} = \left( \hat{H}_0 + \hat{V}(\mathbf{r}) \right) \Psi(\mathbf{r}, t) $$
где Ĥ0 — свободный Гамильтониан, а V̂(r) — оператор взаимодействия. Взаимодействие изменяет поведение системы, в том числе ведет к возможным квантовым переходам, которые описываются изменением волновой функции.
Каждая из картин — Шредингера, Гейзенберга и взаимодействия — представляет собой один из возможных подходов к описанию квантовых систем. В картине Шредингера акцент делается на волновой функции, в картине Гейзенберга — на операторах, а в картине взаимодействия — на взаимодействиях между частицами. Взаимодействия и переходы между этими картинами позволяют глубже понять квантовую механику и правильно описывать сложные системы.