Векторные пространства и операторы

Квантовая механика формулируется в рамках линейной алгебры, где фундаментальным понятием является векторное пространство, на котором определены физические состояния системы. Это пространство носит название гильбертова пространства. Оно обладает следующими свойствами:

линейностью (возможность сложения векторов и умножения на скаляры);
определённым скалярным произведением;
полнотой (в смысле сходимости последовательностей);
наличием ортонормированного базиса.

Гильбертово пространство

Гильбертово пространство ℋ — это комплексное векторное пространство, снабжённое скалярным произведением ⟨ψ|ϕ⟩, удовлетворяющим следующим свойствам:

Линейность по второму аргументу:

⟨ψ|aϕ₁ + bϕ₂⟩ = a⟨ψ|ϕ₁⟩ + b⟨ψ|ϕ₂⟩
Сопряжённая линейность по первому аргументу:

⟨aψ₁ + bψ₂|ϕ⟩ = ā⟨ψ₁|ϕ⟩ + b̄⟨ψ₂|ϕ⟩
Положительная определённость:

⟨ψ|ψ⟩ ≥ 0, и ⟨ψ|ψ⟩ = 0 ⇔ ψ = 0

Состояние квантовой системы описывается вектором |ψ⟩ ∈ ℋ, нормированным по правилу ⟨ψ|ψ⟩ = 1.

Ортонормированный базис и разложение состояния

Векторное пространство допускает выбор ортонормированного базиса {|e_n⟩}, удовлетворяющего:

⟨e_m|e_n⟩ = δ_mn

Любой вектор состояния может быть разложен по этому базису:

|ψ⟩ = ∑_nc_n|e_n⟩, c_n = ⟨e_n|ψ⟩

Смысл коэффициентов c_n в квантовой механике — амплитуды вероятности, квадрат модуля которых |c_n|² даёт вероятность обнаружить систему в состоянии |e_n⟩.

Линейные операторы

Определение и свойства

Оператор Â — это линейное отображение ℋ → ℋ, т.е.

Â(a|ψ⟩ + b|ϕ⟩) = aÂ|ψ⟩ + bÂ|ϕ⟩

Операторы играют роль наблюдаемых в квантовой теории: каждому измеряемому физическому параметру соответствует самосопряжённый (эрмитов) оператор.

Самосопряжённые операторы

Оператор Â называется самосопряжённым, если:

⟨ψ|Âϕ⟩ = ⟨Âψ|ϕ⟩, ∀ |ψ⟩,|ϕ⟩ ∈ ℋ

Для таких операторов:

Собственные значения λ ∈ ℝ
Собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны
Полный набор собственных векторов (в идеальном случае) образует ортонормированный базис {|λ_n⟩}

Таким образом, при измерении наблюдаемой Â возможен только результат λ_n, с вероятностью |⟨λ_n|ψ⟩|²

Собственные состояния и спектральное разложение

Для самосопряжённого оператора Â существует спектральное разложение:

Â = ∑_nλ_n|λ_n⟩⟨λ_n|

или в непрерывном случае:

Â = ∫λ |λ⟩⟨λ| dλ

Это разложение играет ключевую роль при вычислении средних значений:

⟨Â⟩ = ⟨ψ|Â|ψ⟩ = ∑_nλ_n|⟨λ_n|ψ⟩|²

Унитарные и проекторные операторы

Унитарные операторы

Оператор Û называется унитарным, если:

Û^†Û = ÛÛ^† = Î

Унитарные операторы описывают эволюцию замкнутой квантовой системы во времени (например, Û(t) = e^−iĤt/ℏ ).

Проекционные операторы

Проекционный оператор P̂_n на подпространство, порождённое |ϕ_n⟩, определяется как:

P̂_n = |ϕ_n⟩⟨ϕ_n|

Он удовлетворяет:

P̂_n² = P̂_n, P̂_n^† = P̂_n

Такие операторы играют роль в измерении: вероятность получить результат, соответствующий |ϕ_n⟩, равна ⟨ψ|P̂_n|ψ⟩.

Коммутаторы и совместные наблюдаемые

Пусть заданы два оператора Â, B̂. Их коммутатор:

[Â, B̂] = ÂB̂ − B̂Â

Если [Â, B̂] = 0, операторы называются совместно измеримыми: существует общий набор собственных векторов. Это условие фундаментально для формализма наблюдаемых в квантовой теории.

В противном случае действует принцип неопределённости:

$$ \Delta A \cdot \Delta B \geq \frac{1}{2} |\langle [\hat{A}, \hat{B}] \rangle| $$

Матрицы операторов в базисе

В выбранном ортонормированном базисе {|e_n⟩} оператор Â представляется матрицей:

A_mn = ⟨e_m|Â|e_n⟩

Для самосопряжённых операторов $A_{mn} = \overline{A_{nm}}$, т.е. матрица эрмитова. Эволюция векторов также может быть описана через действие матрицы на вектор-столбец координат состояния.

Примеры операторов в квантовой механике

Оператор координаты в представлении x:

x̂ψ(x) = xψ(x)
Оператор импульса:

$$ \hat{p} \psi(x) = -i \hbar \frac{d}{dx} \psi(x) $$
Оператор энергии (гамильтониан):

$$ \hat{H} = \frac{\hat{p}^2}{2m} + V(\hat{x}) $$
Оператор числа (в квантовом гармоническом осцилляторе):

N̂ = â^†â

Эти операторы действуют в конкретных реализациях гильбертова пространства — например, L²(ℝ), пространстве квадратично интегрируемых функций.

Функции от операторов

Если Â — самосопряжённый оператор с полным набором собственных векторов {|λ_n⟩}, то функция от оператора f(Â) определяется спектрально:

f(Â) = ∑_nf(λ_n)|λ_n⟩⟨λ_n|

Это позволяет определять экспоненты операторов, синусы, корни и другие функции, часто возникающие в уравнениях эволюции и операторных методах.

Сведение операторов к диагональному виду

Один из ключевых приёмов анализа — нахождение базиса, в котором оператор принимает диагональный вид. Для самосопряжённого оператора:

Â → diag(λ₁, λ₂, …)

Это упрощает вычисления, позволяет интерпретировать состояния как комбинации собственных и интерпретировать измерения в терминах спектра.

Обобщённые пространства и дельта-функции

Для непрерывного спектра, например, при описании свободной частицы, собственные состояния |x⟩, |p⟩ не принадлежат ℋ, но рассматриваются в обобщённом смысле:

⟨x|x′⟩ = δ(x − x′), ∫|x⟩⟨x| dx = Î

Это расширение требует использования формализма пространства Риггеда, или гельфандовской тройки, где:

Φ ⊂ ℋ ⊂ Φ′

В Φ′ лежат обобщённые функции, типа δ(x − x₀), используемые для спектральной теории непрерывных операторов.

Связь с измерениями и физическими наблюдаемыми

Любая физическая величина — это оператор Â, и измерение этой величины даёт одно из собственных значений. После измерения система коллапсирует в соответствующее собственное состояние |λ_n⟩. Это краеугольный камень квантовой интерпретации.

Среднее значение:

⟨Â⟩ = ⟨ψ|Â|ψ⟩

Дисперсия:

(ΔA)² = ⟨Â²⟩ − ⟨Â⟩²

Эти формулы определяют квантовую статистику измерений, на которых базируется экспериментальная проверка квантовой теории.