В квантовой механике унитарные преобразования играют центральную роль, поскольку они сохраняют внутреннюю структуру гильбертова пространства, не нарушая нормировки волновых функций и скалярных произведений между ними. Пусть ℋ — гильбертово пространство состояний. Оператор U : ℋ → ℋ называется унитарным, если
U†U = UU† = I,
где U† — эрмитово-сопряжённый (сопряжённо-транспонированный) оператор к U, а I — тождественный оператор. Это условие эквивалентно требованию, чтобы U сохранял норму любого вектора: ∥Uψ∥ = ∥ψ∥ для всех ψ ∈ ℋ, и, более того, сохранял скалярное произведение:
⟨Uψ|Uϕ⟩ = ⟨ψ|ϕ⟩.
Унитарные преобразования соответствуют обратимым эволюциям в квантовом пространстве состояний. Благодаря сохранению нормы векторов состояния, унитарные операторы сохраняют полную вероятность, что делает их фундаментальными для описания любых физических изменений, происходящих с изолированной квантовой системой.
Например, временная эволюция в квантовой механике описывается унитарным оператором U(t), который преобразует начальное состояние системы |ψ(0)⟩ в состояние в момент времени t:
|ψ(t)⟩ = U(t)|ψ(0)⟩.
Эти преобразования реализуются с помощью уравнения Шрёдингера, как будет показано далее.
Согласно постулатам квантовой механики, динамика замкнутой квантовой системы подчиняется однородному уравнению Шрёдингера:
$$ i\hbar \frac{d}{dt}|\psi(t)\rangle = \hat{H}|\psi(t)\rangle, $$
где Ĥ — гамильтониан системы. Решение этого уравнения имеет вид:
|ψ(t)⟩ = U(t, t0)|ψ(t0)⟩,
где U(t, t0) — оператор эволюции, и он унитарен:
U†(t, t0) = U−1(t, t0).
Если Ĥ не зависит от времени, тогда
$$ U(t,t_0) = \exp\left(-\frac{i}{\hbar}(t - t_0)\hat{H}\right). $$
Экспонента эрмитова оператора (с множителем −i/ℏ) всегда даёт унитарный оператор. Таким образом, гамильтониан является генератором унитарной временной эволюции.
Унитарные операторы также реализуют симметрии физических систем. Согласно теореме Вигнера, любая симметрия, сохраняющая вероятности перехода между квантовыми состояниями, реализуется либо унитарным, либо антиунитарным преобразованием. В большинстве случаев в стандартной квантовой механике рассматриваются только унитарные преобразования.
Некоторые важные примеры унитарных операторов, связанных с симметриями:
Каждому непрерывному унитарному преобразованию соответствует генератор, являющийся эрмитовым оператором. Связь между генератором Ĝ и унитарным оператором U(λ) с параметром λ имеет вид:
U(λ) = e−iλĜ.
Важное следствие: если Ĝ — оператор, порождающий непрерывную симметрию, и коммутирует с гамильтонианом [Ĝ, Ĥ] = 0, то соответствующая физическая величина сохраняется при эволюции — закон сохранения.
1. Фурье-преобразование. В квантовой механике преобразование из координатного представления в импульсное осуществляется с помощью унитарного преобразования:
$$ \tilde{\psi}(p) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} \int_{-\infty}^\infty e^{-ipx/\hbar} \psi(x)\,dx, $$
обратное преобразование:
$$ \psi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} \int_{-\infty}^\infty e^{ipx/\hbar} \tilde{\psi}(p)\,dp. $$
Это преобразование реализуется унитарным оператором, переходящим между базисами собственных функций операторов x̂ и p̂.
2. Операторы Паули и SU(2). В системах с двумя уровнями (кубит, спин-½) унитарные преобразования описываются матрицами группы SU(2):
U = e−iθ⃗ ⋅ σ⃗/2,
где σ⃗ = (σx, σy, σz) — операторы Паули, а θ⃗ — вектор параметров вращения на сфере Блоха. Такие операторы реализуют повороты спинового состояния, и каждый унитарный оператор SU(2) можно выразить в виде линейной комбинации единичной матрицы и операторов Паули с комплексными коэффициентами, удовлетворяющими унитарности.
3. Оператор сдвига в фазовом пространстве. Когерентные состояния, используемые в квантовой оптике, строятся с помощью унитарного оператора смещения:
D(α) = exp (α↠− α*â),
где â, ↠— операторы уничтожения и рождения. Оператор D(α) действует унитарно в пространстве состояний гармонического осциллятора.
В квантовой механике унитарные операторы используются для смены представлений. Пусть {|ψ⟩} — состояние в одном представлении, тогда в новом представлении, определяемом унитарным преобразованием U, состояния переходят в U|ψ⟩, а операторы — в UÂU†.
Таким образом, наблюдаемая величина Â в новом представлении записывается как:
Â′ = UÂU†,
что сохраняет средние значения:
⟨ψ|Â|ψ⟩ = ⟨ψ′|Â′|ψ′⟩,
где |ψ′⟩ = U|ψ⟩.
Один из основных приёмов в квантовой механике — диагонализация эрмитовых операторов. По спектральной теореме, для любого эрмитова оператора существует ортонормированный базис его собственных векторов. Тогда в этом базисе оператор принимает диагональный вид, и переход к такому базису осуществляется унитарным преобразованием.
Если Â — эрмитов оператор, и U — унитарный оператор, состоящий из его собственных векторов в столбцах, то:
U†ÂU = Âdiag.
Это позволяет анализировать спектр оператора и соответствующие наблюдаемые величины в удобном виде.
Унитарность преобразования зависит от коммутативности генератора с другими операторами. Если два унитарных преобразования U1 = e−iλ1G1 и U2 = e−iλ2G2 действуют последовательно, то их композиция:
U = U1U2 = e−iλ1G1e−iλ2G2,
в общем случае не равна e−i(λ1G1 + λ2G2), если G1 и G2 не коммутируют. Это выражение корректируется формулой Бейкера — Кэмпбелла — Хаусдорфа, содержащей дополнительные коммутаторы.
В квантовой теории информации унитарные преобразования представляют допустимые логические операции над квантовыми битами (кубитами). Всякий квантовый алгоритм — это последовательность унитарных преобразований, реализуемых квантовыми вентилями.
Примеры часто используемых унитарных вентилей:
Hadamard gate (H):
$$ H = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} $$
Phase gate (S):
$$ S = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & i \end{pmatrix} $$
CNOT gate (контролируемый NOT): действует унитарно в двухкубитной системе.
Унитарность гарантирует обратимость и согласованность с фундаментальными законами квантовой физики.